IME / ITA ⇒ (ITA-1951) Calcular o menor valor de n Tópico resolvido

[Jigsaw]

1 - Calcular o menor valor de n para o qual se tem:

[tex3]\frac{1.2.3.\ \ ....\ \ n}{2.4.6.\ \ ....\ \ (2n)}<\frac{1}{10^4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1.2.3.\ \ ....\ \ n}{2.4.6.\ \ ....\ \ (2n)}<\frac{1}{10^4}[/tex3]

Nota: [tex3]log_{10}2=0,301[/tex3]

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[tex3]log_{10}2=0,301[/tex3]

2 - Calcular [tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{log\ n}{log\ (n-1)}[/tex3]

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[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{log\ n}{log\ (n-1)}[/tex3]

Resposta

---

1) Resposta: 14.
2) Resposta: 1.
Fonte: Retirada do livro “Vestibulares de Matemática” por M. Silva Filho e G. Magarinos, pela Editora Nacionalista, em 1960.

OBS = Também mantive os dois itens indicados na questão, mesmo contrariando as regras do Fórum, no sentido de manter a originalidade da questão. Novamente não há necessidade de responder a todos o itens, mas qualquer item respondido será de enorme ajuda para os usuários do espaço.

[Deleted User 23699]

2.
Supondo que o limite é em n e não em x
Mudando a base dos logaritmos, ficaria
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{ln\ n}{ln\ (n-1)}[/tex3]

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[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{ln\ n}{ln\ (n-1)}[/tex3]

Por L'Hopital
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1/n}{1/(n-1)}=\lim_{n \rightarrow \infty}1-\frac{1}{n}=1[/tex3]

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[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1/n}{1/(n-1)}=\lim_{n \rightarrow \infty}1-\frac{1}{n}=1[/tex3]

[petras]

Jigsaw,

O numerador é o mesmo que n!.
Já o denominador:
[tex3]2 \cdot4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2n = (2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 3) \cdot ... \cdot (2n) = (2 \cdot 2 \cdot ... \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n)[/tex3]

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[tex3]2 \cdot4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2n = (2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 3) \cdot ... \cdot (2n) = (2 \cdot 2 \cdot ... \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n)[/tex3]

O produto em negrito tem n fatores, logo:[tex3] 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2n = 2^nn![/tex3]

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[tex3] 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2n = 2^nn![/tex3]

[tex3]\therefore : \frac{(n!)}{(2^nn!)} < \frac{1}{(10^4)} \implies -nlog(2) < -4log(10) \implies nlog(2) > 4log(10)\\
n \cdot 0,301 > 4 \implies n > 13,28 \therefore \boxed{n = 14}.[/tex3]

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[tex3]\therefore : \frac{(n!)}{(2^nn!)} < \frac{1}{(10^4)} \implies -nlog(2) < -4log(10) \implies nlog(2) > 4log(10)\\
n \cdot 0,301 > 4 \implies n > 13,28 \therefore \boxed{n = 14}.[/tex3]

(Soluçõa:GiovanaMartins)