IME / ITA ⇒ (ITA-1950) Cosseno de um ângulo Tópico resolvido

[Jigsaw]

Defina o coseno de um ângulo e prove que

[tex3]cos (A-B) = cos A cosB + senA senB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos (A-B) = cos A cosB + senA senB[/tex3]

Prove igualmente que se x é diferente de 180º, teremos

[tex3]\frac{1-cos\ x}{1+cos\ x}=tg^2\frac{x}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1-cos\ x}{1+cos\ x}=tg^2\frac{x}{2}[/tex3]

Resposta

---

S/ GAB

OBS = Onde está escrito “coseno” o correto seria “cosseno”, deve ter ocorrido ERRO de digitação. A questão apresentou dois itens, embora seja contra as regras do Forum, não procederei com a modificação pra manter a originalidade da questão.

[petras]

Jigsaw,

O cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.

[tex3]\mathsf{
T.Cossenos: \triangle AOB \implies d_{AB}^2=1+1-2.1.1cos(\alpha-\beta) \therefore d_{AB}^2=2-2cos(\alpha-\beta)(I)
\\
d_{AB}^2 = (cos\alpha-cos\beta)^2+(sen\alpha-sen\beta)^2 = co^2\alpha-2cos\alpha cos\beta +cos^2\beta+sen^2\alpha-2sen\alpha sen\beta+sen^2\beta\\
\therefore d_{AB}^2=2-2cos\alpha cos\beta - 2sen\alpha \sen \beta(II)\\
(I)=(II): 2-2cos(\alpha-\beta) = 2-2cos\alpha cos\beta - 2sen\alpha \sen \beta(\div2) \implies \cancel{1}-cos(\alpha-\beta) = \cancel{1}-cos\alpha cos\beta-sen\alpha \sen \beta\\
\therefore \boxed{cos (\alpha- \beta)=cos\alpha cos\beta+sen \alpha sen\beta(c.q.d)}




}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{
T.Cossenos: \triangle AOB \implies d_{AB}^2=1+1-2.1.1cos(\alpha-\beta) \therefore d_{AB}^2=2-2cos(\alpha-\beta)(I)
\\
d_{AB}^2 = (cos\alpha-cos\beta)^2+(sen\alpha-sen\beta)^2 = co^2\alpha-2cos\alpha cos\beta +cos^2\beta+sen^2\alpha-2sen\alpha sen\beta+sen^2\beta\\
\therefore d_{AB}^2=2-2cos\alpha cos\beta - 2sen\alpha \sen \beta(II)\\
(I)=(II): 2-2cos(\alpha-\beta) = 2-2cos\alpha cos\beta - 2sen\alpha \sen \beta(\div2) \implies \cancel{1}-cos(\alpha-\beta) = \cancel{1}-cos\alpha cos\beta-sen\alpha \sen \beta\\
\therefore \boxed{cos (\alpha- \beta)=cos\alpha cos\beta+sen \alpha sen\beta(c.q.d)}




}[/tex3]

[tex3]\mathsf { \frac{1-cosx}{1+cosx}=tg^2(\frac{x}{2} )( \cancel{\exists}tg 90^o \implies x \ne180^o )\\
tg(\frac{x}{2})=\frac{senx}{1+cosx} \implies \frac{1-cosx}{1+cosx}=(\frac{senx}{1+cosx})^2\\
\\\frac{1-cosx}{\cancel{1+cosx}}=\frac{sen^2x}{(1+cosx)\cancel{^2}} \implies 1-cos^2x = sen^2x \therefore \boxed{sen^2x = sen^2x (c.q.d.)}\\



}[/tex3]

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[tex3]\mathsf { \frac{1-cosx}{1+cosx}=tg^2(\frac{x}{2} )( \cancel{\exists}tg 90^o \implies x \ne180^o )\\
tg(\frac{x}{2})=\frac{senx}{1+cosx} \implies \frac{1-cosx}{1+cosx}=(\frac{senx}{1+cosx})^2\\
\\\frac{1-cosx}{\cancel{1+cosx}}=\frac{sen^2x}{(1+cosx)\cancel{^2}} \implies 1-cos^2x = sen^2x \therefore \boxed{sen^2x = sen^2x (c.q.d.)}\\



}[/tex3]