Considere um conjunto de 2023 pontos no plano com a propriedade de que dentre quaisquer cinco desses pontos existam dois cuja distância é menor do que 1. Mostre que existe um círculo de raio 1 que cobre pelo menos 506 pontos desse conjunto.
Não possuo o gabarito.
Olimpíadas ⇒ Olimpíadas Tópico resolvido
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hcubasmachado
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Jul 2023
29
14:25
Re: Olimpíadas
Questão do 8º EHH.
Suponha por absurdo que não exista um círculo de raio 1 que cobre 506 pontos desse conjunto.
Escolha um ponto qualquer [tex3]P_1[/tex3] e construa o círculo [tex3]c_1[/tex3] de raio 1 e centro em [tex3]P_1[/tex3] . Pela suposição, esse círculo contém, no máximo, 505 pontos. Portanto, fora dele existem, no mínimo, 2023-505 = 1518 pontos.
Desses 1518, escolha outro ponto qualquer [tex3]P_2[/tex3] e construa o círculo [tex3]c_2[/tex3] de raio 1 e centro em [tex3]P_2[/tex3] . Pela suposição, esse círculo contém, no máximo, 505 pontos. Portanto, fora dos dois círculos [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] existem, no mínimo, 1518-505 = 1013 pontos.
Repita esse processo, construindo, analogamente, os círculos [tex3]c_3[/tex3] (de centro em [tex3]P_3[/tex3] ) e [tex3]c_4[/tex3] (de centro em [tex3]P_4[/tex3] ). Perceba que existem, no mínimo, 1518-505-505 = 3 pontos fora de [tex3]c_1[/tex3] , [tex3]c_2[/tex3] , [tex3]c_3[/tex3] e [tex3]c_4[/tex3] . Seja [tex3]Q[/tex3] um desses pontos.
Veja que [tex3]P_1[/tex3] , [tex3]P_2[/tex3] , [tex3]P_3[/tex3] , [tex3]P_4[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] são tais que nenhuma dupla deles dista menos de 1. Isso é um absurdo pois entre quaisquer cinco dos pontos do conjunto existem dois cuja distância é menor do que 1. Portanto existe um círculo de raio 1 que cobre (pelo menos) 506 pontos desse conjunto.
Suponha por absurdo que não exista um círculo de raio 1 que cobre 506 pontos desse conjunto.
Escolha um ponto qualquer [tex3]P_1[/tex3] e construa o círculo [tex3]c_1[/tex3] de raio 1 e centro em [tex3]P_1[/tex3] . Pela suposição, esse círculo contém, no máximo, 505 pontos. Portanto, fora dele existem, no mínimo, 2023-505 = 1518 pontos.
Desses 1518, escolha outro ponto qualquer [tex3]P_2[/tex3] e construa o círculo [tex3]c_2[/tex3] de raio 1 e centro em [tex3]P_2[/tex3] . Pela suposição, esse círculo contém, no máximo, 505 pontos. Portanto, fora dos dois círculos [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] existem, no mínimo, 1518-505 = 1013 pontos.
Repita esse processo, construindo, analogamente, os círculos [tex3]c_3[/tex3] (de centro em [tex3]P_3[/tex3] ) e [tex3]c_4[/tex3] (de centro em [tex3]P_4[/tex3] ). Perceba que existem, no mínimo, 1518-505-505 = 3 pontos fora de [tex3]c_1[/tex3] , [tex3]c_2[/tex3] , [tex3]c_3[/tex3] e [tex3]c_4[/tex3] . Seja [tex3]Q[/tex3] um desses pontos.
Veja que [tex3]P_1[/tex3] , [tex3]P_2[/tex3] , [tex3]P_3[/tex3] , [tex3]P_4[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] são tais que nenhuma dupla deles dista menos de 1. Isso é um absurdo pois entre quaisquer cinco dos pontos do conjunto existem dois cuja distância é menor do que 1. Portanto existe um círculo de raio 1 que cobre (pelo menos) 506 pontos desse conjunto.
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