Física III

PedroAntonio · 24 Jul 2023, 12:42

Sendo um cilindro de comprimento L e carga Q, estando carregado de maneira uniforme e tendo densidade linear de cargas igual a ʎ=Q/L. Qual seria o campo elétrico em um determinado ponto P posicionado de maneira arbitrária?

Mensagem não lidapor **παθμ** » 18 Ago 2023, 16:52 · Mensagem não lida por **παθμ** » 18 Ago 2023, 16:52

PedroAntonio, quando não usamos a aproximação [tex3]r<< L[/tex3] , o problema não é mais uma simples aplicação da lei de Gauss, e fica bem mais maçante:

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Vamos definir um sistema de coordenadas conveniente, tal que a barra está sobre o eixo [tex3]z[/tex3] com suas extremidades em [tex3]z=\pm L/2[/tex3] . Por falta de informação, considerarei um cilindro de raio zero, ou seja, uma barra (se não considerarmos [tex3]R=0[/tex3] e não usarmos nenhuma aproximação, o problema fica complicado demais).

Conforme eu mostrei nessa outra dúvida sua: viewtopic.php?f=11&t=106441, o potencial no eixo [tex3]z[/tex3] e fora da barra é dado por:

[tex3]V(z)=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L} \ln\left(\frac{1+u}{1-u}\right)[/tex3] , (EQ. 1) onde [tex3]u=\frac{L}{2z}[/tex3] .

Consideramos um sistema de coordenadas esféricas [tex3]r, \theta, \phi[/tex3] , com [tex3]\theta[/tex3] definido na figura. Como o problema possui simetria cilíndrica, o potencial independe de [tex3]\phi[/tex3] , e ele é da forma

[tex3]V(r, \theta)=\sum_{l=0}^\infty \left(A_l r^l + \frac{B_l}{r^{l+1}} \right)P_l (\cos(\theta))[/tex3] , onde [tex3]P_l(x)[/tex3] são os polinômios de Legendre.

Como o potencial tende a zero em [tex3]r \rightarrow \infty[/tex3] , podemos afirmar que todos os [tex3]A_l[/tex3] são iguais a zero.

Podemos determinar os [tex3]B_l[/tex3] a partir da EQ. 1 se expandirmos [tex3]\ln\left(\frac{1+u}{1-u}\right)[/tex3] em sua série de potências (expansão de Taylor):

[tex3]\ln\left(\frac{1+u}{1-u}\right)=2\sum_{l=0}^\infty \frac{u^{2l+1}}{2l+1}[/tex3] .

Usando então que [tex3]V(z)=V(r,0)[/tex3] e que [tex3]P_l(1)=1[/tex3] :

[tex3]\frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \sum_{l=0}^\infty\frac{1}{2l+1}\left(\frac{L}{2}\right)^{2l} \frac{1}{r^{2l+1}}=\sum_{l=0}^\infty\frac{B_l}{r^{l+1}}[/tex3]

Por comparação, para que a equação acima seja verdadeira, os coeficientes [tex3]B[/tex3] devem ser:

[tex3]B_{2l}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{2l+1} \left(\frac{L}{2}\right)^{2l}[/tex3] , [tex3]B_{2l+1}=0[/tex3] , [tex3]l=0, 1, 2,...[/tex3]

O potencial [tex3]V(r, \theta)[/tex3] em todo o espaço fora da barra é, então:

[tex3]\boxed{V(r, \theta)=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \sum_{l=0}^\infty \frac{1}{2l+1} \left(\frac{L}{2}\right)^{2l} \frac{1}{r^{2l+1}} P_{2l}\left(\cos(\theta)\right)}[/tex3] .

E o campo elétrico é menos o gradiente disso, [tex3]\boxed{\vec{E}=-\vec{\nabla}V}[/tex3] .

Física III ⇒ Campo elétrico em um ponto Tópico resolvido

Campo elétrico em um ponto

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