Ensino Fundamental ⇒ razão entre regiões Tópico resolvido

[cicero444]

Na figura, 𝐴𝐵𝐶 é um triângulo equilátero e a circunferência menor é tangente a dois lados do triângulo e ao círculo maior, como indicado. A região rosa é a que está dentro do círculo maior e fora do círculo menor. Qual é a razão entre as áreas destacadas em azul e rosa?

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a)4/3
b)4/5
c)4/7
d)2/7
e)2/9

[petras]

cicero444,

[tex3]AO' =2R-r\\
\triangle AO'G: sen30^o =\frac{r}{2R-r}=\frac{1}{2} \implies R=\frac{3r}{2}\\
\therefore \frac{\pi r^2}{\pi R^2-\pi r^2} =\frac{r^2}{R^2-r^2}=\frac{r^2}{\dfrac{9R^2}{4}-r^2}=\frac{4r^2}{5r^2} = \boxed{\frac{4}{5}}[/tex3]

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[tex3]AO' =2R-r\\
\triangle AO'G: sen30^o =\frac{r}{2R-r}=\frac{1}{2} \implies R=\frac{3r}{2}\\
\therefore \frac{\pi r^2}{\pi R^2-\pi r^2} =\frac{r^2}{R^2-r^2}=\frac{r^2}{\dfrac{9R^2}{4}-r^2}=\frac{4r^2}{5r^2} = \boxed{\frac{4}{5}}[/tex3]