Pré-Vestibular ⇒ (PSC III- 2021) Geometria Analítica Tópico resolvido

[lor4n]

Seja AB, o lado de um triângulo equilátero ABC, com A(3,2) e B(8,4). Sabendo que o vértice C pertence ao primeiro quadrante, então suas coordenadas são:

a)(11 + 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

/2, 6 + 5 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

/2)
b)(11 - 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

/2, 6 - 5 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

/2)
c)(-11 - 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

/2, 6 + 5 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

/2)
d(11 - 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

/2, 6 + 5 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

/2)
e)(11 - 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

/2, -6 + 5 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

/2)

Resposta

---

Resposta: D

[AnthonyC]

Seja [tex3]C=(r,s)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C=(r,s)[/tex3]

. Como o triângulo é equilátero, então a distância entre [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

e [tex3]B[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B[/tex3]

é igual a distância entre [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

e [tex3]C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C[/tex3]

:
[tex3]d(A,B)=d(A,C)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d(A,B)=d(A,C)[/tex3]

[tex3]\sqrt{(3-8)^2+(2-4)^2}=\sqrt{(3-r)^2+(2-s)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{(3-8)^2+(2-4)^2}=\sqrt{(3-r)^2+(2-s)^2}[/tex3]

[tex3]\sqrt{29}=\sqrt{(3-r)^2+(2-s)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{29}=\sqrt{(3-r)^2+(2-s)^2}[/tex3]

[tex3]{29}={(3-r)^2+(2-s)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{29}={(3-r)^2+(2-s)^2}[/tex3]

[tex3]29=9-6r+r^2+4-4s+s^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]29=9-6r+r^2+4-4s+s^2[/tex3]

[tex3]16=r^2+s^2-6r-4s~~~~(I)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]16=r^2+s^2-6r-4s~~~~(I)[/tex3]

Também sabemos que a distância entre [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

e [tex3]B[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B[/tex3]

é igual a distância entre [tex3]B[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B[/tex3]

e [tex3]C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C[/tex3]

:
[tex3]d(A,B)=d(B,C)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d(A,B)=d(B,C)[/tex3]

[tex3]\sqrt{(3-8)^2+(2-4)^2}=\sqrt{(8-r)^2+(4-s)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{(3-8)^2+(2-4)^2}=\sqrt{(8-r)^2+(4-s)^2}[/tex3]

[tex3]\sqrt{29}=\sqrt{(8-r)^2+(4-s)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{29}=\sqrt{(8-r)^2+(4-s)^2}[/tex3]

[tex3]{29}={(8-r)^2+(4-s)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{29}={(8-r)^2+(4-s)^2}[/tex3]

[tex3]29=64-16r+r^2+16-8s+s^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]29=64-16r+r^2+16-8s+s^2[/tex3]

[tex3]-51=r^2+s^2-16r-8s~~~~(II)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-51=r^2+s^2-16r-8s~~~~(II)[/tex3]

Fazendo [tex3](I)-(II)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](I)-(II)[/tex3]

:
[tex3]16-(-51)=(r^2+s^2-6r-4s)-(r^2+s^2-16r-8s)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]16-(-51)=(r^2+s^2-6r-4s)-(r^2+s^2-16r-8s)[/tex3]

[tex3]67=10r+4s[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]67=10r+4s[/tex3]

[tex3]s={67-10r\over4}~~~~(III)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s={67-10r\over4}~~~~(III)[/tex3]

Substituindo em [tex3](I)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](I)[/tex3]

:
[tex3]16=r^2+s^2-6r-4s[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]16=r^2+s^2-6r-4s[/tex3]

[tex3]16=r^2+\({67-10r\over4}\)^2-6r-4\cdot{67-10r\over4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]16=r^2+\({67-10r\over4}\)^2-6r-4\cdot{67-10r\over4}[/tex3]

[tex3]16=r^2+{4489-1340r+100r^2\over16}-6r -67+10r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]16=r^2+{4489-1340r+100r^2\over16}-6r -67+10r[/tex3]

[tex3]256=16r^2+4489-1340r+100r^2-96r-1072+160r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]256=16r^2+4489-1340r+100r^2-96r-1072+160r[/tex3]

[tex3]0=116r^2-1276r+3161[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0=116r^2-1276r+3161[/tex3]

[tex3]0=4r^2-44r+109[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0=4r^2-44r+109[/tex3]

Utilizando Bhaskara:
[tex3]r={44\pm \sqrt{44^2-4\cdot 4\cdot 109}\over 2\cdot 4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r={44\pm \sqrt{44^2-4\cdot 4\cdot 109}\over 2\cdot 4}[/tex3]

[tex3]r={11\pm 2\sqrt{3}\over 2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r={11\pm 2\sqrt{3}\over 2}[/tex3]

Substituindo em [tex3](III)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](III)[/tex3]

:
[tex3]s={67-10r\over4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s={67-10r\over4}[/tex3]

[tex3]s={67-10\cdot{11\pm 2\sqrt{3}\over 2}\over4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s={67-10\cdot{11\pm 2\sqrt{3}\over 2}\over4}[/tex3]

[tex3]s={67-55\mp 10\sqrt{3}\over4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s={67-55\mp 10\sqrt{3}\over4}[/tex3]

[tex3]s={6\mp 5\sqrt{3}\over2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s={6\mp 5\sqrt{3}\over2}[/tex3]

[tex3]s={6+ 5\sqrt{3}\over2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s={6+ 5\sqrt{3}\over2}[/tex3]

ou [tex3]{6-5\sqrt3\over2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{6-5\sqrt3\over2}[/tex3]

Temos que [tex3]5\sqrt3>6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5\sqrt3>6[/tex3]

, portanto [tex3]6-5\sqrt3<0\implies s<0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]6-5\sqrt3<0\implies s<0[/tex3]

. Porém, como o ponto está no primeiro quadrante, então [tex3]s>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s>0[/tex3]

, logo:
[tex3]s={6+ 5\sqrt3\over 2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s={6+ 5\sqrt3\over 2}[/tex3]

Para que tenhamos esta possibilidade de [tex3]s[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s[/tex3]

, devemos ter [tex3]r={{11- 2\sqrt{3}\over 2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r={{11- 2\sqrt{3}\over 2}}[/tex3]

. Logo:
[tex3]C=\({11-2\sqrt{3}\over 2},{6+5\sqrt{3}\over 2}\)[/tex3]

[petras]

lor4n,
Outra resolução:

[tex3]M=(\frac{8+3}{2}, \frac{4+2}{2})=(\frac{11}{2}, 3)\\
\vec{n} \perp \vec {AB}=B-A=(5,2) .\\
\vec n=(-2,5) .\\
|\vec n|=lado .\\
\triangle_{ABC}: h= \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{n} \\
C(1^oquad.)=M+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\vec n = (\frac{11}{2}+\frac{\sqrt3}{2}(-2),3+\frac{\sqrt3}{2}(5))=(\frac{11-2\sqrt3}{2}, \frac{6+5\sqrt3}{2}) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M=(\frac{8+3}{2}, \frac{4+2}{2})=(\frac{11}{2}, 3)\\
\vec{n} \perp \vec {AB}=B-A=(5,2) .\\
\vec n=(-2,5) .\\
|\vec n|=lado .\\
\triangle_{ABC}: h= \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{n} \\
C(1^oquad.)=M+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\vec n = (\frac{11}{2}+\frac{\sqrt3}{2}(-2),3+\frac{\sqrt3}{2}(5))=(\frac{11-2\sqrt3}{2}, \frac{6+5\sqrt3}{2}) [/tex3]

(Solução:LuisFuentes)