Resposta
[tex3]\pm 123[/tex3]
Olimpíadas ⇒ (Stanford)Polinomio
Jan 2023
23
16:21
(Stanford)Polinomio
Se [tex3]x^{2} + \frac{1}{x^{2}}[/tex3]
=7, determine o valor de [tex3]x^{5} + \frac{1}{x^{5}}[/tex3]
.
[tex3]\pm 123[/tex3]
[tex3]\pm 123[/tex3]
-
LeoJaques
- Mensagens: 76
- Registrado em: 18 Nov 2022, 10:05
- Última visita: 03-06-24
- Agradeceu: 2 vezes
- Agradeceram: 10 vezes
Jan 2023
23
22:07
Re: (Stanford)Polinomio
Olá.
Note que:
[tex3](x^2 + \dfrac{1}{x^2})(x^3 + \dfrac{1}{x^3}) = x^5 + \dfrac{1}{x^5} + x + \dfrac{1}{x} \Rightarrow \\ x^5 + \dfrac{1}{x^5} = 7(x^3 + \dfrac{1}{x^3}) - (x + \dfrac{1}{x}) \ (I) [/tex3]
[tex3](x + \dfrac{1}{x})(x^2 + \dfrac{1}{x^2}) = x^3 + \dfrac{1}{x^3} + x + \dfrac{1}{x} \Rightarrow \\ x^3 + \dfrac{1}{x^3} = (x + \dfrac{1}{x})(x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 1) \ = (x + \dfrac{1}{x})(6) \ (II)[/tex3]
De (I) e (II):
[tex3]x^5 + \dfrac{1}{x^5} = 41(x + \dfrac{1}{x}) \ (III)[/tex3]
Porém observe que:
[tex3](x + \dfrac{1}{x})^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = \pm 3 \ (IV) [/tex3]
(IV) em (III)
[tex3]x^5 + \dfrac{1}{x^5} = \pm 3(41) = \pm 123[/tex3]
Note que:
[tex3](x^2 + \dfrac{1}{x^2})(x^3 + \dfrac{1}{x^3}) = x^5 + \dfrac{1}{x^5} + x + \dfrac{1}{x} \Rightarrow \\ x^5 + \dfrac{1}{x^5} = 7(x^3 + \dfrac{1}{x^3}) - (x + \dfrac{1}{x}) \ (I) [/tex3]
[tex3](x + \dfrac{1}{x})(x^2 + \dfrac{1}{x^2}) = x^3 + \dfrac{1}{x^3} + x + \dfrac{1}{x} \Rightarrow \\ x^3 + \dfrac{1}{x^3} = (x + \dfrac{1}{x})(x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 1) \ = (x + \dfrac{1}{x})(6) \ (II)[/tex3]
De (I) e (II):
[tex3]x^5 + \dfrac{1}{x^5} = 41(x + \dfrac{1}{x}) \ (III)[/tex3]
Porém observe que:
[tex3](x + \dfrac{1}{x})^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = \pm 3 \ (IV) [/tex3]
(IV) em (III)
[tex3]x^5 + \dfrac{1}{x^5} = \pm 3(41) = \pm 123[/tex3]
-
- Tópicos Semelhantes
- Resp.
- Exibições
- Últ. msg
-
- 1 Resp.
- 1380 Exibições
-
Últ. msg por EvelynP
-
- 1 Resp.
- 586 Exibições
-
Últ. msg por Ittalo25
-
- 1 Resp.
- 654 Exibições
-
Últ. msg por NigrumCibum
