Pré-Vestibular ⇒ (UNEB 2022.2) trigonometria Tópico resolvido

[Rory]

Salve! como eu resolvo esta questão? Tentei pela fundamental, mas acho que não seria a mais indicada...
Obtendo as soluções da equação [tex3]\sen (x) + \sqrt{3}\cos (x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen (x) + \sqrt{3}\cos (x)[/tex3]

=1, x [tex3]\in [0, 2\pi ][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\in [0, 2\pi ][/tex3]

, conclui-se que a soma dessas soluções é igual a:

A) [tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3]

rad.
B) [tex3]\frac{7\pi }{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{7\pi }{3}[/tex3]

rad.
C) [tex3]\frac{\pi }{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi }{6}[/tex3]

rad.
D) [tex3]\frac{5\pi }{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5\pi }{3}[/tex3]

rad.
E) [tex3]\frac{5\pi }{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5\pi }{6}[/tex3]

rad.

Resposta

---

B

[petras]

Rory,

Já lhe mostrei um artificio em outra questão que você postou..

[tex3]\mathsf{
\frac{1}{2}.sen(x)+\frac{\sqrt3}{2}.cosx=\frac{1}{2}\implies \underbrace{sen(x)cos\frac{\pi}{3}+cos(x)\sen\frac{\pi}{3}}_{sen(a+b)}=\frac{1}{2} \\
sen(x+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\implies x+\frac{\pi}{3} =\frac{\pi}{6}+2k\pi~ ou~x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6} +2k\pi\\
x = -\frac{\pi}{6}+2k\pi(I)~ou ~x=\frac{\pi}{2}+2k\pi(II)\\
(I): k = 0 \implies x = -\frac{\pi}{6}\notin [0,2\pi]\\
k = 1 \implies x = -\frac{\pi}{6}+2\pi = \frac{11\pi}{6} \checkmark\\k = 2\implies x = -\frac{\pi}{6}+4\pi = \frac{23\pi}{6}\notin [0,2\pi]\\\\
(II) k = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}\checkmark\\
k=1: x = \frac{\pi}{2}+2 \pi=\frac{5\pi}{2}\notin [0,2\pi]\\\\
\therefore \frac{11\pi}{6}+ \frac{\pi}{2} = \boxed{\frac{7}{3}}\color{green}\checkmark


}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{
\frac{1}{2}.sen(x)+\frac{\sqrt3}{2}.cosx=\frac{1}{2}\implies \underbrace{sen(x)cos\frac{\pi}{3}+cos(x)\sen\frac{\pi}{3}}_{sen(a+b)}=\frac{1}{2} \\
sen(x+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\implies x+\frac{\pi}{3} =\frac{\pi}{6}+2k\pi~ ou~x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6} +2k\pi\\
x = -\frac{\pi}{6}+2k\pi(I)~ou ~x=\frac{\pi}{2}+2k\pi(II)\\
(I): k = 0 \implies x = -\frac{\pi}{6}\notin [0,2\pi]\\
k = 1 \implies x = -\frac{\pi}{6}+2\pi = \frac{11\pi}{6} \checkmark\\k = 2\implies x = -\frac{\pi}{6}+4\pi = \frac{23\pi}{6}\notin [0,2\pi]\\\\
(II) k = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}\checkmark\\
k=1: x = \frac{\pi}{2}+2 \pi=\frac{5\pi}{2}\notin [0,2\pi]\\\\
\therefore \frac{11\pi}{6}+ \frac{\pi}{2} = \boxed{\frac{7}{3}}\color{green}\checkmark


}[/tex3]