Concursos Públicos ⇒ Tipo de função Par e injetora Tópico resolvido

[evelysousa]

Existe função f: R → R par e injetora? Alguem poderia me explicar essa informação a respeito desse tipo de função?

Resposta

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gabarito: errado

[LostWalker]

A resposta é NÃO.

Uma função par é descrita matematicamente como:

[tex3]\exists\,x\in\mathbb{R}~|~~f(x)=f(-x)[/tex3]

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[tex3]\exists\,x\in\mathbb{R}~|~~f(x)=f(-x)[/tex3]

Uma função ímpar seria:

[tex3]\exists\,x\in\mathbb{R}~|~~f(x)=-f(-x)[/tex3]

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[tex3]\exists\,x\in\mathbb{R}~|~~f(x)=-f(-x)[/tex3]

Os maiores exemplo são as funções seno e cosseno. A função cosseno é par, enquanto a seno é ímpar, podemos dizer que:

[tex3]\cos(x)=\cos(-x)[/tex3]

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[tex3]\cos(x)=\cos(-x)[/tex3]

[tex3]\sen(x)=-\sen(-x)[/tex3]

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[tex3]\sen(x)=-\sen(-x)[/tex3]

Já uma função injetora diz que:

[tex3]\forall~x_1,x_2\in\mathbb{R}~|~~x_1\neq x_2,f(x_1)\neq f(x_2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\forall~x_1,x_2\in\mathbb{R}~|~~x_1\neq x_2,f(x_1)\neq f(x_2)[/tex3]

Ou seja, não existe dois números diferente que podem chegar no mesmo valor. vamos para um exemplo simples:

[tex3]f(x)=x^2-x-1[/tex3]

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[tex3]f(x)=x^2-x-1[/tex3]

Você consegue encontrar que:

[tex3]f(-2)=(-2)^2-(-2)-1=\boxed{5}\\f(3)=3^2-3-1=\boxed{5}[/tex3]

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[tex3]f(-2)=(-2)^2-(-2)-1=\boxed{5}\\f(3)=3^2-3-1=\boxed{5}[/tex3]

Ou seja, dois valores diferentes chegaram no mesmo resultado, logo, a função acima NÃO é injetora.


Agora, junte as duas definições. Perceba que TODA função par NÃO É injetora. pois, [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

e [tex3]-x[/tex3]

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[tex3]-x[/tex3]

SEMPRE obterão o mesmo valor.

[evelysousa]

Eu fiquei um pouco confusa quando vi essa questão... dai eu pensei q era verdade quanto as funções pares mas tem as injetoras q existem mais de um elemento ligado ao outro conjunto quando tem uma lei de formação fica mas fácil deduzir!! Valeu!!

[LostWalker]

mas tem as injetoras q existem mais de um elemento

A diferença direta é que, uma função deixa de ser injetora se tiver pelo menos um caso de dois valores chegarem ao mesmo resultado. Já uma função par, a regra precisa vale para todos os elementos.