Pré-Vestibular ⇒ (UFSC 2022 - Q:23) Escalonamento, prova amarela Tópico resolvido

[jomano]

Olá, alguém pode me dizer como resolver esse item por escalonamento? Ele está

Resposta

---

correto

, mas eu não deveria ter apenas 3 soluções, já que tenho 3 equações e 3 incógnitas ao invés de infinitas soluções?

Se

𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 𝑎
−𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑏
3𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 𝑐

, então o sistema tem solução para quaisquer valores 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ.

[petras]

jomano,

O CAju já resolveu essa questão...Questão 23...https://www.youtube.com/watch?v=EJkP796uhkE

[jomano]

Ele resolve por Cramer, ele chega a comentar que seria resolvível por escalonamento, e eu tentei fazer por escalonamento para ver como ficava...

Resposta

---

não consegui

Eu gostaria de ver a resolução por escalonamento

[petras]

jomano,

[tex3]\begin{pmatrix}
1& -2 & -1&a\\
-1& 4 &2&b \\
3 &3 &5&c
\end{pmatrix}L2+L1: L3-3L1\implies\\
\begin{pmatrix}
1& -2 & -1&a\\
0& 2 &1&a+b \\
0 &9 &8&-3a+c
\end{pmatrix} L3-\frac{9L2}{2}\implies\\
\begin{pmatrix}
1& -2 & -1&a\\
0& 2 &1&a+b \\
0 &0 &\frac{7}{2}&\frac{-15a+2b-c}{2}
\end{pmatrix} L3-\frac{9L2}{2}\\\therefore
\begin{pmatrix}
z = \frac{-15a+2b-c}{2} \\
y = \frac{11a+8b-c}{7}\\
x = 2a+b
\end{pmatrix}

[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
1& -2 & -1&a\\
-1& 4 &2&b \\
3 &3 &5&c
\end{pmatrix}L2+L1: L3-3L1\implies\\
\begin{pmatrix}
1& -2 & -1&a\\
0& 2 &1&a+b \\
0 &9 &8&-3a+c
\end{pmatrix} L3-\frac{9L2}{2}\implies\\
\begin{pmatrix}
1& -2 & -1&a\\
0& 2 &1&a+b \\
0 &0 &\frac{7}{2}&\frac{-15a+2b-c}{2}
\end{pmatrix} L3-\frac{9L2}{2}\\\therefore
\begin{pmatrix}
z = \frac{-15a+2b-c}{2} \\
y = \frac{11a+8b-c}{7}\\
x = 2a+b
\end{pmatrix}

[/tex3]

o sistema tem solução para quaisquer valores 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ.

[jomano]

Muito obrigado amigo...

Só para garantir: eu só posso dizer que o sistema é possível e indeterminado porque eu não acho valores específicos para x, y e z, certo? Como os valores que temos num sistema linear pertence ao conjunto dos reais, não preciso aplicar nenhuma condição aos resultados das incógnitas

Tô penando um pouco nisso ainda... é isso mesmo que falei?

[petras]

jomano,
Se você já estudou escalonamento já sabe para que um sistema seja possível indeterminado precisaríamos ter
0x 0y 0z 0, o que não aconteceu
portanto temos um sistema determinado, para qualquer valor de a, b e c teremos uma solução única para o sistema formado

[jomano]

petras

Eu não tenho conseguido associar o resultado que encontramos com a proposição que a UFSC dá...
A proposição diz que o sistema tem solução para quaisquer valores a, b, c reais, mas isso não significaria o sistema ser possível indeterminado?
E o sistema é SPD, há apenas uma solução para ele...

[petras]

jomano,

Como já explicado aneriormente, pela algebra, o sistema é determinado.

VocÊ está confundindo os parâmetros a, b e c da equação com as variáveis x, y e z

Talvez a maneira mais facil de entender seria pensar assim

Se eu pegar um valor para "a" um para "b" e um para "c", seu sistema terá uma solução ou infinitas soluções?

Eu posso ter infinitos valores para a. b e c mas para cada trio que eu escolher só terei um valor para x, um para y e um para z, ou seja, o sisteram terá apenas uma solução para cada valor a, b e c e portanto é um sistema determinado.

A questão apresenta uma sistema genérico
Outra forma de pensar.
Seja
x+y+z = a
x-y+z = b
x-2z-2y=c
Da forma como vocÊ está pensando este sistema nunca será determinado...mas concorda que isso não é verdade?
Poderá Existir valores de a, b e c que esse sistema seja determinado, O escalonamento fornece exatamente para quais valores de a. b e c esse sistema será determinado, indeterminado ou impossível

[jomano]

Muito obrigado novamente amigo