Ensino Superior ⇒ (Diomara) Cálculo Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Mostre que a curvatura de uma curva plana descrita por [tex3]\sigma (t)=(x(t),y(t))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sigma (t)=(x(t),y(t))[/tex3]

é

[tex3]k(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{([x'(t)]^2+[y'(t)]^2)^{3/2}}[/tex3]

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[tex3]k(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{([x'(t)]^2+[y'(t)]^2)^{3/2}}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Eba!!!!!!!!!!!!!! Mais uma questão com a FONTE

Uma solução:

Usaremos a seguinte fórmula para encontrarmos a curvatura:

[tex3]k(t) = \frac{ || \sigma '( t ) × \sigma ''(t) ||}{ || \sigma'( t ) ||^3 }[/tex3]

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[tex3]k(t) = \frac{ || \sigma '( t ) × \sigma ''(t) ||}{ || \sigma'( t ) ||^3 }[/tex3]

.

No caso, ficamos com;

[tex3]k(t) = \frac{ || ( x'( t ) , y'( t ) ) × ( x''(t) , y''( t ) )||}{ || ( x'( t ) , y'( t ) ) ||^3 }[/tex3]

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[tex3]k(t) = \frac{ || ( x'( t ) , y'( t ) ) × ( x''(t) , y''( t ) )||}{ || ( x'( t ) , y'( t ) ) ||^3 }[/tex3]

.

Agora , basta você calcular o produto vetorial e depois aplicar a norma:

[tex3]k(t) = \frac{ || ( x'( t ) , y'( t ) ) × ( x''(t) , y''( t ) )||}{ || ( x'( t ) , y'( t ) ) ||^3 }[/tex3]

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[tex3]k(t) = \frac{ || ( x'( t ) , y'( t ) ) × ( x''(t) , y''( t ) )||}{ || ( x'( t ) , y'( t ) ) ||^3 }[/tex3]

.

Calculando o produto vetorial, obtemos:

[tex3]k(t) = \frac{ || x'( t ).y''( t ) - y'(t) . x''( t ) ||}{ || ( x'( t ) , y'( t ) ) ||^3 }[/tex3]

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[tex3]k(t) = \frac{ || x'( t ).y''( t ) - y'(t) . x''( t ) ||}{ || ( x'( t ) , y'( t ) ) ||^3 }[/tex3]

.

Aplicando a norma, vem;

[tex3]k(t) = \frac{ || x'( t ).y''( t ) - y'(t) . x''( t ) ||}{ \{ \sqrt{ [ x'( t )]^2 \ + \ [ y'( t ) ]^2 }\}^3 }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k(t) = \frac{ || x'( t ).y''( t ) - y'(t) . x''( t ) ||}{ \{ \sqrt{ [ x'( t )]^2 \ + \ [ y'( t ) ]^2 }\}^3 }[/tex3]

.

Portanto,

[tex3]k(t) = \frac{ || x'( t ).y''( t ) - y'(t) . x''( t ) ||}{ \{ [ x'( t )]^2 \ + \ [ y'( t ) ]^2 \}^{\frac{3}{2}} }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k(t) = \frac{ || x'( t ).y''( t ) - y'(t) . x''( t ) ||}{ \{ [ x'( t )]^2 \ + \ [ y'( t ) ]^2 \}^{\frac{3}{2}} }[/tex3]

. C.q.m.



Excelente estudo!