Observe
Eba!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Mais uma questão com gabarito e com a FONTE
Uma solução:
A fórmula do vetor aceleração é:
A(t) = v'(t).T(t) + v(t).|| T'(t) ||.N(t).
Tal que;
A(t) = σ''(t) é o vetor aceleração;
v( t ) = || V( t ) || = || σ'( t ) || é a velocidade escalar;
E os coeficientes de T( t ) e N( t ) são, respectivamente, o componente tangencial ( A [tex3]_{T}[/tex3] ) e normal ( A [tex3]_{N}[/tex3] ) da aceleração, ou seja:
A [tex3]_{T}[/tex3] = v'( t )
E:
A [tex3]_{N}[/tex3] = v(t).|| T'( t ) ||
Como a aceleração possui esses dois componentes que são perpendiculares entre si e formam um triângulo retângulo ( veja a figura abaixo ) , ela pode ser definida através do Teorema de Pitágoras:
- IMG-20220809-WA0005.jpg (6.83 KiB) Exibido 438 vezes
Assim:
|| A(t) ||^2 = A² [tex3]_{T}[/tex3] + A² [tex3]_{N}[/tex3]
E, isolando a componente normal:
A [tex3]_{N}[/tex3] = √[ || A(t) ||^2 - A² [tex3]_{T}[/tex3] ]
Dessa forma, vamos encontrar a equação geral da aceleração para então verificar as componentes. Tendo a equação:
σ( t ) = ( 3cos(t) , 4sen(t) )
Então, derivando-a uma vez, obtemos:
σ'( t ) = ( - 3sen(t) , 4cos(t) ) = V( t )
E, fazendo isso novamente:
σ''( t ) = ( - 3cos(t) , - 4sen(t) ) = A( t ).
Ainda, a velocidade escalar terá o valor:
v(t) = | σ'( t ) | = √{ [ - 3sen(t) ]^2 + [ 4cos(t) ]^2 }
Logo:
v(t) = √[ 9sen²(t) + 16cos²(t) ]
Derivando essa função, obtemos:
v'( t ) = [ 18sen(t).cos(t) - 32sen(t).cos (t) ]/{ 2√[ 9sen²(t) + 16cos²(t) ] }
Com esses resultados, torna-se possível fazermos o cálculo que queremos. Como a componente normal é dada por :
A [tex3]_{N}[/tex3] = √[ || A(t) ||^2 - A² [tex3]_{T}[/tex3] ]
Teremos:
|| A(t) ||^2 = { √[ ( - 3cos(t) )^2 + ( - 4sen(t) )^2 ] } ^2
Logo:
|| A(t) ||^2 = 9cos²(t) ) + 16sen²(t)
E:
[tex3]A_{T}^2 = \left(- \frac{ 14sen(t).cos (t) }{2\sqrt{9sen^2(t) + 16cos^2(t)}}\right)^2[/tex3]
Assim, substituindo na fórmula da componente normal, vem;
[tex3]A_{N}(t) = \sqrt{[ 9cos^2(t) + 16sen^2(t) ] -
\left(- \frac{ 14sen(t).cos (t) }{2\sqrt{9sen^2(t) + 16cos^2(t)}}\right)^2}[/tex3]
[tex3]A_{N}(t) = \sqrt{[ 9cos^2(t) + 16sen^2(t) ] +
\left( \frac{ 14sen(t).cos (t) }{2\sqrt{9sen^2(t) + 16cos^2(t)}}\right)^2}[/tex3]
O autor está pedindo neste exercício para encontrar o resultado no instante t = 0 , então;
[tex3]A_{N}(0) = \sqrt{[ 9cos^2(0) + 16sen^2(0) ] +
\left( \frac{ 14sen(0).cos (0) }{2\sqrt{9sen^2(0) + 16cos^2(0)}}\right)^2}[/tex3]
[tex3]A_{N}(0) = \sqrt{[ 9.1 + 16.0 ] +
\left( \frac{ 14.0.1 }{2\sqrt{9.0 + 16.1}}\right)^2}[/tex3]
[tex3]A_{N}(0) = \sqrt{[ 9 + 0 ] +
\left( \frac{ 0 }{2\sqrt{ 0 + 16}}\right)^2}[/tex3]
A [tex3]_{N}[/tex3]( 0 ) = √( 9 + 0 )
A [tex3]_{N}[/tex3]( 0 ) = √( 9 )
Portanto,
A [tex3]_{N}[/tex3]( 0 ) = 3
Excelente estudo!