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Autor : Angel Silva Palacios
Ensino Médio ⇒ Incírculo Mixtilinear Tópico resolvido
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Babi123
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Jul 2022
04
11:53
Incírculo Mixtilinear
O círculo em verde é o [tex3]A-incírculo \ Mixtilinear [/tex3]
, [tex3]T[/tex3]
, [tex3]U[/tex3]
são pontos de tangência, [tex3]AT=AU=t[/tex3]
. [tex3]BC=a, CA=b[/tex3]
e [tex3]AB=c[/tex3]
. Prove que [tex3]t=\frac{2bc}{a+b+c}[/tex3]
e [tex3]r_v=\frac{bc}{p}\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}[/tex3]
. (Nota: [tex3]r_v=raio \ do \ círculo \ em \ verde[/tex3]
e [tex3]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex3]
).
.
Autor : Angel Silva Palacios
Autor : Angel Silva Palacios
Editado pela última vez por Babi123 em 04 Jul 2022, 12:11, em um total de 2 vezes.
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FelipeMartin
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Jul 2022
04
16:10
Re: Incírculo Mixtilinear
Sabemos do item 2 daqui que [tex3]TU[/tex3]
é perpendicular à bissetriz interna do [tex3]\triangle ABC[/tex3]
pelo vértice [tex3]A[/tex3]
e que o incentro [tex3]I[/tex3]
do [tex3]\triangle ABC[/tex3]
é ponto médio de [tex3]TU[/tex3]
.
Logo, [tex3]AU \cdot \cos (\frac{A}2) = AI[/tex3]
usamos a relação clássica:
[tex3]\sen (\frac A2) = \frac{r}{AI}[/tex3]
[tex3]AU = \frac{r}{ \sen (\frac A2)\cos (\frac A2)} = \frac{2r}{\sen(A)}[/tex3]
[tex3]AU = \frac{2pr}{p\sen(A)} = \frac{2S}{p \sen (A)} = \frac{abc}{2Rp \sen (A)} = \frac {bc}p = \frac{2bc}{a+b+c}[/tex3]
faltou a expressão do rv né? Ela está no tópico de incírculo mixtilinear, mas dá pra fazer fácil pensando na homotetia do incírculo normal e do incírculo mixtilinear. O centro dessa homotetia é o ponto A e a razão é [tex3]\frac{r_v}r = \frac{AU}{p-a} = \frac{bc}{p(p-a)}[/tex3]
então:
[tex3]r_v = r \cdot \frac{bc}{p(p-a)} = \frac{Sbc}{p^2(p-a)} = bc \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p^2(p-a)}[/tex3]
que dá o seu gabarito!
Logo, [tex3]AU \cdot \cos (\frac{A}2) = AI[/tex3]
usamos a relação clássica:
[tex3]\sen (\frac A2) = \frac{r}{AI}[/tex3]
[tex3]AU = \frac{r}{ \sen (\frac A2)\cos (\frac A2)} = \frac{2r}{\sen(A)}[/tex3]
[tex3]AU = \frac{2pr}{p\sen(A)} = \frac{2S}{p \sen (A)} = \frac{abc}{2Rp \sen (A)} = \frac {bc}p = \frac{2bc}{a+b+c}[/tex3]
faltou a expressão do rv né? Ela está no tópico de incírculo mixtilinear, mas dá pra fazer fácil pensando na homotetia do incírculo normal e do incírculo mixtilinear. O centro dessa homotetia é o ponto A e a razão é [tex3]\frac{r_v}r = \frac{AU}{p-a} = \frac{bc}{p(p-a)}[/tex3]
então:
[tex3]r_v = r \cdot \frac{bc}{p(p-a)} = \frac{Sbc}{p^2(p-a)} = bc \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p^2(p-a)}[/tex3]
que dá o seu gabarito!
Editado pela última vez por FelipeMartin em 04 Jul 2022, 16:29, em um total de 1 vez.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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Babi123
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Jul 2022
05
09:45
Re: Incírculo Mixtilinear
Seria bom os adms colocarem esses tópicos de incírculo Mixtilinear na parte de demonstração.
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