[tex3]\dfrac{d^2y}{dx^2}-4x\dfrac{dy}{dx}-4y=e^x[/tex3]
Resposta
[tex3]y(x)=c_0(1+2x^2+2x^4+\dfrac{4}{3}x^6...)+c_1(x+\dfrac{4}{3}x^3+\dfrac{16}{15}x^5+...)+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{13}{4!}x^4+...[/tex3]
Ensino Superior ⇒ EDO - Série de potência Tópico resolvido
Jun 2022
18
08:08
EDO - Série de potência
Resolva a EDO não homogênea abaixo utilizando séries de potência em torno de [tex3]x_0=0[/tex3]
.
[tex3]\dfrac{d^2y}{dx^2}-4x\dfrac{dy}{dx}-4y=e^x[/tex3]
[tex3]y(x)=c_0(1+2x^2+2x^4+\dfrac{4}{3}x^6...)+c_1(x+\dfrac{4}{3}x^3+\dfrac{16}{15}x^5+...)+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{13}{4!}x^4+...[/tex3]
[tex3]\dfrac{d^2y}{dx^2}-4x\dfrac{dy}{dx}-4y=e^x[/tex3]
[tex3]y(x)=c_0(1+2x^2+2x^4+\dfrac{4}{3}x^6...)+c_1(x+\dfrac{4}{3}x^3+\dfrac{16}{15}x^5+...)+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{13}{4!}x^4+...[/tex3]
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Cardoso1979
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Jun 2022
18
14:14
Re: EDO - Série de potência
Observe
Eba!!!!!!! Mais uma questão com gabarito
Solução:
Substituindo y( x ) = [tex3]\sum_{n=0}^{ ∞ }[/tex3] c [tex3]_{n}[/tex3] xⁿ na equação diferencial , vem ;
y'' - 4xy' - 4y = e [tex3]^{x}[/tex3]
[tex3]\underbrace{\sum_{n=2}^{ ∞ }n( n - 1 )c_{n}.x^{ n - 2 }}_{ k = n - 2 } \ - \ \underbrace{\sum_{n=1}^{ ∞ }4nc_{n}.x^{ n }}_{ k = n } \ - \ \underbrace{\sum_{n=0}^{ ∞ }4c_{n}.x^{ n }}_{ k = n } = \underbrace{\sum_{n=0}^{ ∞ } \frac{1}{n!}.x^n}_{ k = n }[/tex3]
[tex3]\sum_{k=0}^{ ∞ }( k + 2 )( k + 1 )c_{k + 2
}.x^{ k } \ - \ \sum_{k=1}^{ ∞ }4kc_{k}.x^{ k } \ - \ \sum_{k=0}^{ ∞ }4c_{k}.x^{ k } = \sum_{k=0}^{ ∞ } \frac{1}{k!}.x^k[/tex3]
[tex3]2c_{2} - 4c_{0} \ + \ \sum_{k = 1}^{ ∞ } [ ( k + 2 )( k + 1 )c_{ k + 2} \ - \ 4( k + 1 )c_{k} ].x^k = 1 \ + \
\sum_{k= 1 }^{ ∞ } \frac{1}{k!}.x^k[/tex3]
Dessa forma, resulta que ( compare os termos e iguale os seus coeficientes correspondentes):
[tex3]2c_{2} - 4c_{0} = 1[/tex3] ;
[tex3]( k + 2 )( k + 1 ).c_{ k + 2} \ - \ 4( k + 1 ).c_{k} = \frac{1}{k!}[/tex3]
e
[tex3]c_{2} = \frac{1}{2} \ + \ 2c_{0}[/tex3] ;
[tex3]c_{ k + 2 } = \frac{1}{ ( k + 2 )!} \ + \ \frac{ 4 }{ k + 2}.c_{ k }[/tex3] , k = 1 , 2 , 3 , ... .
Sejam c0 e c1 arbitrários e itere para encontrar
[tex3]c_{2} = \frac{1}{2} \ + \ 2.c_{0}[/tex3]
[tex3]c_{3} = \frac{1}{3!} + \frac{4}{3}.c_{1} = \frac{1}{3!} + \frac{4}{3}.c_{1} [/tex3]
[tex3]c_{4} = \frac{1}{4!} + \frac{4}{4}.c_{2} = \frac{1}{4!} + \frac{1}{2} \ + \ 2.c_{0} = \frac{13}{4!} \ + \ 2.c_{0}[/tex3]
[tex3]c_{5} = \frac{1}{5!} + \frac{4}{5}.c_{3} = \frac{1}{5!} + \frac{4}{5.3!} \ + \ \frac{16}{15}.c_{1} = \frac{ 17 }{5!} \ + \ \frac{ 16 }{ 15 }.c_{1}[/tex3]
[tex3]c_{6} = \frac{1}{6!} + \frac{4}{6}.c_{4} = \frac{1}{6!} + \frac{4.13}{6.4!} \ + \ \frac{8}{6}.c_{0} = \frac{ 261 }{6!} \ + \ \frac{ 4 }{ 3 }.c_{0}[/tex3]
[tex3]c_{ 7 } = \frac{1}{7!} + \frac{4}{7}.c_{5} =
\frac{1}{7!} + \frac{4.17}{7.5!} \ + \ \frac{ 64 }{ 105 }.c_{ 1 } = \frac{ 409 }{ 7! } \ + \ \frac{ 64 }{ 105 }.c_{ 1 }[/tex3]
e assim por diante. A solução é ( Bateu a preguiça, não irei digitar usando o TeX , até mesmo por conta da minha visão.).
y( x ) = c0 + c1.x + [ (1/2) + 2.c0 ).x² + [ (1/3!) + (4/3).c1 ].x³ - [ (13/4!) + 2.c0 ].x⁴ + [ (17/5!) + (16/15).c1 ].x⁵ + [ (261/6!) + (4/3).c0 ].x⁶ + [ (409/7!) + (64/105).c1 ].x⁷ ...
Portanto,
y( x ) = c0.[ 1 + 2x² + 2x⁴ + (4/3).x⁶ + ... ] + c1.[ x + (4/3).x³ + (16/15).x⁵ + (64/105).x⁷ + ... ] + (1/2).x² + (1/3!).x³ + (13/4!).x⁴ + (175!).x⁵ + (261/6!).x⁶ + (409/7!).x⁷ + ... Massa!
Obs.1 O segredo é você dá uma revisada em série de potência e recorrência.
Obs.2
Solução em forma de série de potências em torno de x[tex3]_{0}[/tex3] = 0:
y( x ) = c0 + c1.x + c2.x² + ... + cn.xⁿ + ... = [tex3]\sum_{n=0}^{∞}[/tex3]cn.xⁿ ;
y'( x ) = c1 + 2.c2.x + ... + n.cn.x[tex3]^{n-1}[/tex3] + ... = [tex3]\sum_{n=1}^{∞}[/tex3]n.cn.x[tex3]^{n-1}[/tex3]
e
y''( x ) = 2.c2 + ... + n.( n - 1 ).cn.x[tex3]^{n-2}[/tex3] + ... = [tex3]\sum_{n=2}^{∞}[/tex3]n.( n - 1 ).cn.x[tex3]^{n-2}[/tex3]
Excelente estudo!
Eba!!!!!!! Mais uma questão com gabarito
Solução:
Substituindo y( x ) = [tex3]\sum_{n=0}^{ ∞ }[/tex3] c [tex3]_{n}[/tex3] xⁿ na equação diferencial , vem ;
y'' - 4xy' - 4y = e [tex3]^{x}[/tex3]
[tex3]\underbrace{\sum_{n=2}^{ ∞ }n( n - 1 )c_{n}.x^{ n - 2 }}_{ k = n - 2 } \ - \ \underbrace{\sum_{n=1}^{ ∞ }4nc_{n}.x^{ n }}_{ k = n } \ - \ \underbrace{\sum_{n=0}^{ ∞ }4c_{n}.x^{ n }}_{ k = n } = \underbrace{\sum_{n=0}^{ ∞ } \frac{1}{n!}.x^n}_{ k = n }[/tex3]
[tex3]\sum_{k=0}^{ ∞ }( k + 2 )( k + 1 )c_{k + 2
}.x^{ k } \ - \ \sum_{k=1}^{ ∞ }4kc_{k}.x^{ k } \ - \ \sum_{k=0}^{ ∞ }4c_{k}.x^{ k } = \sum_{k=0}^{ ∞ } \frac{1}{k!}.x^k[/tex3]
[tex3]2c_{2} - 4c_{0} \ + \ \sum_{k = 1}^{ ∞ } [ ( k + 2 )( k + 1 )c_{ k + 2} \ - \ 4( k + 1 )c_{k} ].x^k = 1 \ + \
\sum_{k= 1 }^{ ∞ } \frac{1}{k!}.x^k[/tex3]
Dessa forma, resulta que ( compare os termos e iguale os seus coeficientes correspondentes):
[tex3]2c_{2} - 4c_{0} = 1[/tex3] ;
[tex3]( k + 2 )( k + 1 ).c_{ k + 2} \ - \ 4( k + 1 ).c_{k} = \frac{1}{k!}[/tex3]
e
[tex3]c_{2} = \frac{1}{2} \ + \ 2c_{0}[/tex3] ;
[tex3]c_{ k + 2 } = \frac{1}{ ( k + 2 )!} \ + \ \frac{ 4 }{ k + 2}.c_{ k }[/tex3] , k = 1 , 2 , 3 , ... .
Sejam c0 e c1 arbitrários e itere para encontrar
[tex3]c_{2} = \frac{1}{2} \ + \ 2.c_{0}[/tex3]
[tex3]c_{3} = \frac{1}{3!} + \frac{4}{3}.c_{1} = \frac{1}{3!} + \frac{4}{3}.c_{1} [/tex3]
[tex3]c_{4} = \frac{1}{4!} + \frac{4}{4}.c_{2} = \frac{1}{4!} + \frac{1}{2} \ + \ 2.c_{0} = \frac{13}{4!} \ + \ 2.c_{0}[/tex3]
[tex3]c_{5} = \frac{1}{5!} + \frac{4}{5}.c_{3} = \frac{1}{5!} + \frac{4}{5.3!} \ + \ \frac{16}{15}.c_{1} = \frac{ 17 }{5!} \ + \ \frac{ 16 }{ 15 }.c_{1}[/tex3]
[tex3]c_{6} = \frac{1}{6!} + \frac{4}{6}.c_{4} = \frac{1}{6!} + \frac{4.13}{6.4!} \ + \ \frac{8}{6}.c_{0} = \frac{ 261 }{6!} \ + \ \frac{ 4 }{ 3 }.c_{0}[/tex3]
[tex3]c_{ 7 } = \frac{1}{7!} + \frac{4}{7}.c_{5} =
\frac{1}{7!} + \frac{4.17}{7.5!} \ + \ \frac{ 64 }{ 105 }.c_{ 1 } = \frac{ 409 }{ 7! } \ + \ \frac{ 64 }{ 105 }.c_{ 1 }[/tex3]
e assim por diante. A solução é ( Bateu a preguiça, não irei digitar usando o TeX , até mesmo por conta da minha visão.).
y( x ) = c0 + c1.x + [ (1/2) + 2.c0 ).x² + [ (1/3!) + (4/3).c1 ].x³ - [ (13/4!) + 2.c0 ].x⁴ + [ (17/5!) + (16/15).c1 ].x⁵ + [ (261/6!) + (4/3).c0 ].x⁶ + [ (409/7!) + (64/105).c1 ].x⁷ ...
Portanto,
y( x ) = c0.[ 1 + 2x² + 2x⁴ + (4/3).x⁶ + ... ] + c1.[ x + (4/3).x³ + (16/15).x⁵ + (64/105).x⁷ + ... ] + (1/2).x² + (1/3!).x³ + (13/4!).x⁴ + (175!).x⁵ + (261/6!).x⁶ + (409/7!).x⁷ + ... Massa!
Obs.1 O segredo é você dá uma revisada em série de potência e recorrência.
Obs.2
Solução em forma de série de potências em torno de x[tex3]_{0}[/tex3] = 0:
y( x ) = c0 + c1.x + c2.x² + ... + cn.xⁿ + ... = [tex3]\sum_{n=0}^{∞}[/tex3]cn.xⁿ ;
y'( x ) = c1 + 2.c2.x + ... + n.cn.x[tex3]^{n-1}[/tex3] + ... = [tex3]\sum_{n=1}^{∞}[/tex3]n.cn.x[tex3]^{n-1}[/tex3]
e
y''( x ) = 2.c2 + ... + n.( n - 1 ).cn.x[tex3]^{n-2}[/tex3] + ... = [tex3]\sum_{n=2}^{∞}[/tex3]n.( n - 1 ).cn.x[tex3]^{n-2}[/tex3]
Excelente estudo!
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Cardoso1979
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Jun 2022
18
20:11
Re: EDO - Série de potência
Eu tento ser , mais não dá, somente o nosso Deus é perfeito! Fica com Deus
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