Dado uma matriz qualquer A de ordem m x n. Como eu calculo [tex3]A^{2}[/tex3]
, [tex3]A^{3}[/tex3]
, enfim, [tex3]A^{n}[/tex3]
, sem eu ter que ficar multiplicando n vezes a mesma matriz?
Por exemplo, em que condições eu posso dizer que se uma matriz
A=[tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}[/tex3]
, então
[tex3]A^{2} = \begin{pmatrix}
a^{2} & b^{2} \\
c^{2} & d^{2} \\
\end{pmatrix}[/tex3]
e assim por diante, para todo n inteiro ?
Além disso, quando é verdade que eu posso fazer, por exemplo, [tex3]A^{2}[/tex3]
.[tex3]A^{2} = A^{4}[/tex3]
?
Ensino Superior ⇒ Como calcular potência de matrizes? Tópico resolvido
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Nekololikuro
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Cardoso1979
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Abr 2022
27
18:52
Re: Como calcular potência de matrizes?
Observe
Obs. Só é possível efetuar uma multiplicação de matrizes se
Para A² , A³ , obviamente ela tem que ser quadrada!
Para A [tex3]^{n}[/tex3] , geralmente você tem que sair multiplicando A² , A³ ou A⁴ , etc , e observar um padrão que ela vai formando , daí você generaliza.
Para o caso de A = [tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}[/tex3] então A² = [tex3]\begin{pmatrix}
a^{2} & b^{2} \\
c^{2} & d^{2} \\
\end{pmatrix}[/tex3] , a matriz , obviamente , tem que ser quadrada , além disso uma matriz diagonal. Por exemplo:
Dada a matriz A = [tex3]\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 0 && 0 \\
0 &&& -3 && 0\\
0 &&& 0 && 2
\end{array} \right][/tex3] . Determinar A [tex3]^{-1}[/tex3] , A⁵ e A [tex3]^{-5}[/tex3] .
Solução:
A [tex3]^{-1} = \left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 0 && 0 \\
0 &&& -\frac{1}{3} && 0\\
0 &&& 0 && \frac{1}{2}
\end{array} \right][/tex3] .
A⁵ = [tex3]= \left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 0 && 0 \\
0 &&& - 243 && 0\\
0 &&& 0 && 32
\end{array} \right][/tex3] .
A [tex3]^{-5} = = \left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 0 && 0 \\
0 &&& - \frac{1}{243} && 0\\
0 &&& 0 && \frac{1}{32}
\end{array} \right][/tex3] .
E por fim,
Além disso, quando é verdade que eu posso fazer, por exemplo, A².A² = A⁴ ?
Se A é uma matriz quadrada, então A[tex3]^{n}[/tex3].A[tex3]^{m}[/tex3] = A[tex3]^{m + n}[/tex3] , quaisquer que sejam os inteiros m ≥ 0 e n ≥ 0. .
Pronto! Dificilmente eu respondo questões com "várias" dúvidas , mais resolvi "quebrar o teu galho".
Excelente estudo!
Solução:Nekololikuro escreveu: ↑25 Abr 2022, 17:29 Dado uma matriz qualquer A de ordem m x n. Como eu calculo [tex3]A^{2}[/tex3] , [tex3]A^{3}[/tex3] , enfim, [tex3]A^{n}[/tex3] , sem eu ter que ficar multiplicando n vezes a mesma matriz?
Obs. Só é possível efetuar uma multiplicação de matrizes se
- Screenshot_20220427-110028-939.png (19.04 KiB) Exibido 512 vezes
Para A² , A³ , obviamente ela tem que ser quadrada!
Para A [tex3]^{n}[/tex3] , geralmente você tem que sair multiplicando A² , A³ ou A⁴ , etc , e observar um padrão que ela vai formando , daí você generaliza.
Para o caso de A = [tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}[/tex3] então A² = [tex3]\begin{pmatrix}
a^{2} & b^{2} \\
c^{2} & d^{2} \\
\end{pmatrix}[/tex3] , a matriz , obviamente , tem que ser quadrada , além disso uma matriz diagonal. Por exemplo:
Dada a matriz A = [tex3]\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 0 && 0 \\
0 &&& -3 && 0\\
0 &&& 0 && 2
\end{array} \right][/tex3] . Determinar A [tex3]^{-1}[/tex3] , A⁵ e A [tex3]^{-5}[/tex3] .
Solução:
A [tex3]^{-1} = \left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 0 && 0 \\
0 &&& -\frac{1}{3} && 0\\
0 &&& 0 && \frac{1}{2}
\end{array} \right][/tex3] .
A⁵ = [tex3]= \left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 0 && 0 \\
0 &&& - 243 && 0\\
0 &&& 0 && 32
\end{array} \right][/tex3] .
A [tex3]^{-5} = = \left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 0 && 0 \\
0 &&& - \frac{1}{243} && 0\\
0 &&& 0 && \frac{1}{32}
\end{array} \right][/tex3] .
E por fim,
Além disso, quando é verdade que eu posso fazer, por exemplo, A².A² = A⁴ ?
Se A é uma matriz quadrada, então A[tex3]^{n}[/tex3].A[tex3]^{m}[/tex3] = A[tex3]^{m + n}[/tex3] , quaisquer que sejam os inteiros m ≥ 0 e n ≥ 0. .
Pronto! Dificilmente eu respondo questões com "várias" dúvidas , mais resolvi "quebrar o teu galho".
Excelente estudo!
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