[tex3]E=\frac{1}{2}mv_r^2+V_{ef}(r)[/tex3]
onde
[tex3]V_{ef}=U(r)+\frac{l^2}{2mr^2}[/tex3]
chama-se potencial efetivo para movimento na direção radial (0 < r < ∞). O termo [tex3]l^2/(2mr^2)[/tex3] associado à energia cinética de rotação da partícula em torno do centro, é chamado de “potencial centrífugo”. Como [tex3]E[/tex3] e [tex3]l[/tex3] se conservam, o problema se reduz ao do “movimento unidimensional” na direção radial, na presença do potencial efetivo [tex3]V_{ef}(r)[/tex3] . (c) Esboce o gráfico de [tex3]V_{ef}(r)[/tex3] quando [tex3]U(r)[/tex3] corresponde à atração gravitacional entre a partícula de massa m e outra de massa [tex3]M>>m[/tex3] pode ser tratada como centro de forças fixo em [tex3]O[/tex3] .
11.7) Usando os resultados do Problema 11.6 e por analogia com a discussão do movimento unidimensional com energia E dada num potencial (Seç. 6.5), (a) Calcule,para o sistema de duas partículas em interação gravitacional do Probl. 11.6(c), a distância [tex3]r_0[/tex3] associada ao mínimo de [tex3]V_{ef}(r)[/tex3] e a energia [tex3]E_0[/tex3] correspondente. Mostre que [tex3]r_0[/tex3] é o raio da órbita circular da partícula em torno do centro de forças associada à energia total [tex3]E_0[/tex3] . (b) Mostre que, para [tex3]0 > E > E_0 [/tex3] , a distância [tex3]r[/tex3] de forças oscila entre dois valores [tex3]r_p[/tex3] e [tex3]r_a[/tex3] . Estes valores correspondem ao periélio e ao afélio da órbita elíptica de energia [tex3]E[/tex3] . Calcule o semieixo maior a dessa órbita elíptica e mostre que E só depende de a (veja Figuras 10.13 e 10.14). (c) Calcule a velocidade da partícula numa órbita elíptica de semieixo maior a, quando se encontra à distância r do centro de forças. (d) Calcule a excentricidade e da órbita (Seç. 10.4) em função de [tex3]a, E[/tex3] e do momento angular [tex3]l[/tex3] .
Figuras 10.13 e 10.14:
Resposta
7-[tex3]a) r_0=l^2/(GMm^2);mv^2/r_0=GMm/r_o^2;E_0=-GMm/2(2r_0);[/tex3]
[tex3](b)E=-GMm/(2a);(c) v^2=GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a});(d) e=\sqrt{1+\frac{l^2}{2ma^2E}}[/tex3]
