Olimpíadas

Encontre todas as triplas [tex3](a,b,c)[/tex3] de números reais tal que:

[tex3]\begin{cases}
a+b+c = \dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \\ \, \\
a^2+b^2+c^2= \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2}
\, \\
\end{cases}[/tex3]

Sejam [tex3]s_1 = a+b+c, s_2 = ab+bc+ac[/tex3] e [tex3]s_3 = abc[/tex3] .

Então, a primeira equação é [tex3]s_1 = \frac{s_2}{s_3} \iff s_1s_3 = s_2[/tex3]

a segunda é: [tex3]s_1^2 - 2s_2 = \frac{s_2^2-2s_1s_3}{s_3^2} \iff s_2^2 - 2s_2s_3^2 = s_2^2 - 2s_2 \iff s_2 = s_2s_3^2[/tex3]

ou [tex3]s_2 = 0 \implies s_1 \cdot s_3 =0[/tex3] , se [tex3]s_3 = 0[/tex3] teremos problema pois [tex3]\frac1a[/tex3] não será definido. Então [tex3]s_2 =0 \implies s_1 = 0[/tex3] . [tex3]a,b,c[/tex3] são raízes da equação:

[tex3]x^3 - s_1x^2 + s_2x - s_3 = 0 \iff x^3 = s_3[/tex3] como [tex3]a,b,c[/tex3] são números reais, então eles devem ser todos iguais a [tex3]\sqrt[3]{s_3}[/tex3] , o que acontece naturalmente quando [tex3]a=b=c[/tex3] , porém [tex3]a+b+c = 0[/tex3] implicaria todos sendo [tex3]0[/tex3] , logo [tex3]s_2 \neq 0[/tex3] .

Então [tex3]s_3^2 = 1 \iff s_3 = \pm 1[/tex3] .

Se [tex3]s_3 = 1[/tex3] , então [tex3]s_1 = s_2[/tex3] e teremos que [tex3]x^3 - s_1x^2 + s_1x -1 =0 [/tex3] , então [tex3]x=1[/tex3] é solução. Então teremos, por exemplo, [tex3]a=1[/tex3] e [tex3]bc = 1[/tex3] . Substituindo na primeira equação: [tex3]b+c = \frac1b + \frac1c[/tex3] , o que é verdade sempre, desde que [tex3]b= \frac1c[/tex3] . Então, triplas da forma [tex3]\{1,r,\frac1r\}[/tex3] satisfazem o sistema.

É fácil ver que [tex3]s_3 = -1[/tex3] leva a triplas da forma [tex3]\{-1,r,\frac1r\}[/tex3] pra qualquer [tex3]r[/tex3] real não nulo.

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