Pré-Vestibular ⇒ (UnB PAS - 2014) Geometria Plana/Polinômios

[Gabi123]

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Na figura acima, uma estrela de 5 pontas é representada no plano de coordenadas cartesianas ortogonais xOy. Cada ponto (x, y) desse plano está identificado com um número complexo z = x + iy, em que i = [tex3]\sqrt{-1}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{-1}[/tex3]

é a unidade imaginária. A respeito dessa figura, sabe-se que:

-> os pontos q1, q2, q3, q4 e q5 estão localizados nos vértices de um pentágono e são as raízes complexas da equação z^5 = -1, estando, portanto, sobre a circunferência de centro na origem e raio unitário (|z| = 1);

-> os pontos p1, p2, p3, p4 e p5 são as raízes complexas da equação z^5 = L^5, em que L = (3 + [tex3]\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{5}[/tex3]

)/2

-> os pontos de cada um dos seguintes conjuntos {p1, q1, q2, p3}, {p2, q2, q3, p4}, {p3, q3, q4, p5} {p4, q4, q5, p1} e { p2, q1, q5, p5} estão sobre segmentos de retas, conforme mostrado na figura.

Na figura a seguir, em que p1, p3 e p4 são vértices da estrela de 5 pontas apresentada, a medida do ângulo θ é superior a 40°.

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Assinale a opção que apresenta polinômio complexo de variável complexa — P(z) — cujas raízes são exatamente os 10 vértices da estrela de 5 pontas.

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Resposta

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Gabarito letra B

[LostWalker]

[tex3]z^5=-1\,\,\,\therefore\,\,\,z^5+1=0[/tex3]

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[tex3]z^5=-1\,\,\,\therefore\,\,\,z^5+1=0[/tex3]

*As raízes dessa equação são [tex3]q_i[/tex3]

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[tex3]q_i[/tex3]

[tex3]L^5=z^5\,\,\,\therefore\,\,\,L^5-z^5=0[/tex3]

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[tex3]L^5=z^5\,\,\,\therefore\,\,\,L^5-z^5=0[/tex3]

*As raízes dessa equação são [tex3]P_i[/tex3]

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[tex3]P_i[/tex3]

Sendo iguais a zero, temos que
[tex3](z^5+1)(L^5-z^2)=0\\z^5L^5-z^{10}+L^5-z^5=0\\-z^{10}+z^5(L^5-1)+L^5=0[/tex3]

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[tex3](z^5+1)(L^5-z^2)=0\\z^5L^5-z^{10}+L^5-z^5=0\\-z^{10}+z^5(L^5-1)+L^5=0[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{z^{10}+z^5(1-L^5)-L^5=0}[/tex3]

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[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{z^{10}+z^5(1-L^5)-L^5=0}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa B}[/tex3]

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[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa B}[/tex3]