Fazendo a construção como se pede, teremos o seguinte esquema:
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Nota-se aqui que, devido à circunferência e ao retângulo, há alta simetria a ser explorada. Primeiramente, devido aos ângulos retos em [tex3]\mathsf{B}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{C}[/tex3]
, ambos os segmentos [tex3]\mathsf{\overline{BN}}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{\overline{MC}}[/tex3]
são diâmetros. Disso concluímos que o centro [tex3]\mathsf{O}[/tex3]
da circunferência está na linha média do retângulo [tex3]\mathsf{ABCD}[/tex3]
, e ainda que [tex3]\mathsf{BCNM}[/tex3]
é um retângulo. Com isso, temos provada a simetria da construção.
Seja [tex3]\mathsf{x}[/tex3]
a medida de [tex3]\mathsf{\overline{BM}}[/tex3]
, então [tex3]\mathsf{\overline{BC} \ = \ 2 \cdot x.}[/tex3]
No [tex3]\mathsf{\triangle BCM}[/tex3]
, tendo que [tex3]\mathsf{\overline{CM} \ = \ 12:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{x^2 \ + \ (2\cdot x)^2 \ = \ 12^2 \ \therefore \ x \ = \ \dfrac{12}{\sqrt{5}}.}[/tex3]
A região pedida é o setor circular [tex3]\mathsf{BOC}[/tex3]
mais os triângulos [tex3]\mathsf{\triangle OBM, \ \triangle OMN, \ \triangle ONC}[/tex3]
. Esses três triângulos possuem áreas iguais, de mesmo valor [tex3]\mathsf{= \ \dfrac{x^2}{2}.}[/tex3]
Então, para o setor circular [tex3]\mathsf{BOC}[/tex3]
, calculando o seu ângulo central [tex3]\theta[/tex3]
pela lei do cosseno:
[tex3]\mathsf{(2\cdot x)^2 \ = \ 6^2 \ + \ 6^2 \ - \ 2\cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(\theta)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{576}{5} \ = \ 72 \ - \ 72 \cdot \cos(\theta) \ \therefore \ \cos(\theta) \ = \ -\dfrac{3}{5}}[/tex3]
Portanto, [tex3]\mathsf{\theta \ = \ 180^\circ \ - \ 53^\circ}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\theta \ = \ 127^\circ}[/tex3]
, que, em radianos, é [tex3]\mathsf{\theta \ = \ \dfrac{127 \cdot \pi}{180} \ \rad.}[/tex3]
A área pedida [tex3]\mathsf{S \ = \ S_{\triangle OBM \ + \ \triangle OMN \ + \ \triangle ONC} \ + \ S_{BOC}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{S \ = \ 3 \cdot \dfrac{x^2}{2} \ + \ \dfrac{\theta \cdot 6^2}{2}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{S \ = \ 3 \cdot \dfrac{\Big(\frac{12}{\sqrt{5}}\Big)^2}{2} \ + \ \dfrac{\frac{127 \cdot \pi}{180} \cdot 36}{2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{S \ = \ \dfrac{216}{5} \ + \ \dfrac{127 \cdot \pi}{10} \ u.a.}}}[/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
