Pré-Vestibular ⇒ (Unificado-RJ) Logaritmos

[Aurelio]

O conjunto solução da equação [tex3]\log_4 x+\log_x4 = \frac{5}{2}[/tex3]

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[tex3]\log_4 x+\log_x4 = \frac{5}{2}[/tex3]

sendo [tex3]\text{U}=\mathbb{R}_+^*-\{1\}[/tex3]

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[tex3]\text{U}=\mathbb{R}_+^*-\{1\}[/tex3]

é tal que a soma de seus elementos é igual a:

Resposta

---

18

[jrneliodias]

Olá, Aurelio.

Em logaritmos, podemos dizer que [tex3]\log_b a=\frac{1}{\log_a b}[/tex3]

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[tex3]\log_b a=\frac{1}{\log_a b}[/tex3]

, através da propriedade de mudança de base, assim:

[tex3]\log_4 x+\frac{1}{\log_4 x}=\frac{5}{2}[/tex3]

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[tex3]\log_4 x+\frac{1}{\log_4 x}=\frac{5}{2}[/tex3]

Chamando [tex3]\log_4 x=u[/tex3]

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[tex3]\log_4 x=u[/tex3]

, temos:

[tex3]u+\frac{1}{u}=\frac{5}{2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,2u^2-5u+2=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,(2u-1)(u-2)=0[/tex3]

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[tex3]u+\frac{1}{u}=\frac{5}{2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,2u^2-5u+2=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,(2u-1)(u-2)=0[/tex3]

[tex3]u=\frac{1}{2}\,\,\,ou\,\,\,\,u=2[/tex3]

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[tex3]u=\frac{1}{2}\,\,\,ou\,\,\,\,u=2[/tex3]

Resubstituindo:

[tex3]\log_4 x=\frac{1}{2}\,\,\,\,ou\,\,\,\log_4 x=2\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,x=2\,\,\,\,ou\,\,\,\,x=16[/tex3]

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[tex3]\log_4 x=\frac{1}{2}\,\,\,\,ou\,\,\,\log_4 x=2\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,x=2\,\,\,\,ou\,\,\,\,x=16[/tex3]

Somando teremos [tex3]18[/tex3]

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[tex3]18[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.