Maratonas de Física

Solução do Problema 20

A tensão do circuito vale
[tex3]V{circ}=-10+18=8V[/tex3]

A corrente no amperímetro
[tex3]i=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}A[/tex3]

A leitura voltímetro
[tex3]\frac{V}{i}=2[/tex3]
[tex3]V=\frac{4}{3}V[/tex3]

A corrente no ramo que contém o voltímetro
[tex3]2i-Ri=8[/tex3]
[tex3]2i-V=8[/tex3]
[tex3]2i-\frac{4}{3}=8[/tex3]
[tex3]i=\frac{10}{3}[/tex3]

A corrente total
[tex3]i_t=\frac{10+2}{3}=4A[/tex3]

[tex3]\eta =\frac{P_{util}}{P_{total}}=\frac{18\cdot 4 }{100}[/tex3]
[tex3]\boxed{\eta =72\%}[/tex3]

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Problema 21

(IME 1974/75) No circuito da figura, [tex3]V_1[/tex3] e [tex3]V_2[/tex3] são fontes ideais de tensão contínua, tais que [tex3]V_1 > V_2[/tex3] , [tex3]C[/tex3] é um capacitor, [tex3]R_1[/tex3] e [tex3]R_2[/tex3] resistores e [tex3]S[/tex3] uma chave. Determinar as expressões:

: IME74-75.png (40.42 KiB) Exibido 4987 vezes

a) da energia armazenada no capacitor [tex3]C[/tex3] , se a chave [tex3]S[/tex3] está aberta há muito tempo;
b) da tensão no capacitor [tex3]C[/tex3] , se a chave [tex3]S[/tex3] está fechada há muito tempo;
c) da tensão e da corrente em cada um dos resistores, se a chave [tex3]S[/tex3] está fechada há muito tempo.

Resposta

a)[tex3]E=\frac{CV_2^2}{2}[/tex3]
b)[tex3]V_C=V_2[/tex3]
c)[tex3]V_{R_1}=V_1 -V_2[/tex3]
[tex3]V_{R_2}=0[/tex3]
[tex3]I_{R_1}=\frac{V_1 - V_2}{R}[/tex3]
[tex3]I_{R_2}=0[/tex3]

Mensagem não lida por **gabrielbpf** » 19 Ago 2013, 11:44

Solução do Problema 21

a) Com a chave aberta há muito tempo, teremos que o regime estacionário terá sido alcançado e que no circuito deixou de passar corrente, pois o capacitor estará carregado. Assim, teremos que a diferença de potencial entre os polos do capacitor terá se igualado à que existe entre os polos do gerador que alimenta o circuito:

[tex3]E=\frac{CV_2^2}{2}[/tex3]

b) Se a chave está fechada há muito tempo, podemos supor que o capacitor já está completamente carregado. Dessa forma, não há nenhuma passagem de corrente pelo resistor [tex3]R_2[/tex3] e os polos do gerador e do capacitor constituem os mesmos pontos do circuito.

[tex3]V_c=V_2[/tex3]

c) Como exposto acima, se a chave está fechada há muito tempo e o capacitor já carregado, então só haverá passagem de corrente pela malha mais à esquerda do circuito. A diferença entre os polos do resistor [tex3]R_2[/tex3] é nula, portanto e também a corrente que por ele passa. Na malha do resistor [tex3]R_1[/tex3] podemos aplicar a 2ª Lei de Kirchhoff e a 1ª Lei de Ohm:

[tex3]-V_1+V_2+V_{R_1}=0 \therefore V_{R_1}=V_1-V_2[/tex3]

Então: [tex3]I_{R_1}=\frac{V_1-V_2}{R}[/tex3]

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Problema 22

(ITA- 2007) Um corpo indeformável em repouso é atingido por um projétil metálico com a velocidade de [tex3]300 m/s[/tex3] e a temperatura de [tex3]0^\circ C[/tex3] . Sabe-se que, devido ao impacto, [tex3]1/3[/tex3] da energia cinética é absorvida pelo corpo e o restante transforma-se em calor, fundindo parcialmente o projétil. O metal tem ponto de fusão [tex3]t_f = 300\circ C[/tex3] , calor específico [tex3]c = 0,02 cal/g^\circ C[/tex3] e calor latente de fusão [tex3]L_f = 6 cal/g[/tex3] . Considerando [tex3]1 cal = 4 J[/tex3] , a fração [tex3]x[/tex3] da massa total do projétil metálico que se funde é tal que

a) [tex3]x<0,25[/tex3]
b) [tex3]x=0,25[/tex3]
c) [tex3]0,25<x<0,50[/tex3]
d) [tex3]x=0,50[/tex3]
e) [tex3]x>0,50[/tex3]

Solução do Problema 22

A energia que se transformou em calor depois do impacto foi [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] , assim temos,
[tex3]\frac{2}{3}\frac{mv^2}{2}=m_t L+mc\Delta T[/tex3] , onde [tex3]m_t[/tex3] é a massa que se transformou.
[tex3]3\times 10^4m=m_t\,24\times 10^3 +m\,0,08\times 10^3\cdot 300[/tex3]
[tex3]3\times 10^4m=m_t\,24\times 10^3 +m\,24\times 10^3[/tex3]
[tex3]6\times 10^3m=m_t\,24\times 10^3[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{m_t}{m}=0,25}[/tex3] . Letra B

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Problema 23

(ITA - 1982) Uma bolinha de massa [tex3]m[/tex3] está oscilando livremente com movimento harmônico simples vertical, sob a ação de uma mola de constante elástica [tex3]K[/tex3] . Sua amplitude de oscilação é A. num dado instante, traz-se um recipiente contendo um líquido viscoso e obriga-se a partícula a oscilar dentro desse líquido. Depois de um certo tempo, retira-se novamente o recipiente com o líquido e constata-se que a partícula tem velocidade dada pela expressão:
[tex3]v = v_o \cos( wt + \gamma )[/tex3] , onde [tex3]v_o[/tex3] , [tex3]w[/tex3] e [tex3]\gamma[/tex3] são constantes. Desprezando as perdas de calor para o meio circundante e sabendo que o líquido tem capacidade calorífica [tex3]C[/tex3] , podemos afirmar que a variação de sua temperatura foi de:

: ITA_82.png (8.06 KiB) Exibido 4953 vezes

a) zero
b) é impossível calculá-la sem conhecer a amplitude do movimento final
c) [tex3](kA^2-mv_o^2)/2C[/tex3]
d) [tex3]kA^2/C[/tex3]
e) [tex3](kA^2-mv_o^2)/C[/tex3]

Resposta

Letra C

Mensagem não lida por **Radius** » 20 Ago 2013, 12:00

Solução do Problema 23
Na situação inicial, a energia total do MHS é [tex3]\frac{kA^2}{2}[/tex3] .

Depois que o líquido foi inserido e retirado, a energia total passou a ser [tex3]\frac{mv_{max}^2}{2}= \frac{mv_{0}^2}{2}[/tex3]

Portanto a diferença de energia foi usada como calor para esquentar o líquido:

[tex3]\frac{kA^2}{2}-\frac{mv_{0}^2}{2}=C \cdot \Delta T \\\\\\ \boxed{\Delta T=\frac{kA^2-mv_0^2}{2C}}[/tex3]

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Problema 24

(ITA - 2011) Um problema clássico da cinemática considera objetos que, a partir de certo instante, se movem conjuntamente com velocidade de módulo constante a partir dos vértices de um polígono regular, cada qual apontando à posição instantânea do objeto vizinho em movimento. A figura mostra a configuração desse movimento múltiplo no caso
de um hexágono regular. Considere que o hexágono tinha [tex3]10,0\, m[/tex3] de lado no instante inicial e que os objetos se movimentam com velocidade de módulo constante de [tex3]2,00 \,m/s[/tex3] . Após quanto tempo estes se encontrarão e qual deverá ser a distância percorrida por cada um dos seis objetos?

: fig28.JPG (2.2 KiB) Exibido 4954 vezes

a) 5,8s e 11,5m
b) 11,5s e 5,8m
c) 10,0s e 20,0m
d) 20,0s e 10,0m
e) 20,0s e 40,0m

Gabarito

C

Mensagem não lida por **gabrielbpf** » 20 Ago 2013, 15:41

Solução do Problema 24

A velocidade radial de uma dessas partículas pode ser calculada decompondo-se o vetor velocidade. Sabendo-se o ângulo interno de um hexágono regular, temos:

[tex3]v_{r}=v\cdot cos 60^\circ \Rightarrow v_r=2,00\cdot 0,500 \Rightarrow v_r=1,00m/s[/tex3]

Assim, se a distância percorrida nessa direção (pela simetria da figura) é [tex3]10,0m[/tex3] , temos que o tempo é dado por [tex3]\frac{10,0}{1,00}=10,0s[/tex3] .

A distância total percorrida foi: [tex3]d=v\cdot t \Rightarrow d=2,00\cdot 10,0 \Rightarrow d=20,0m[/tex3]

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Problema 25

(IME - 2011/2012) Em visita a uma instalação fabril, um engenheiro observa o funcionamento de uma máquina térmica que produz trabalho e opera em um ciclo termodinâmico, extraindo energia de um reservatório térmico a [tex3]1000 K[/tex3] e rejeitando calor para um segundo reservatório a [tex3]600 K[/tex3] . Os dados de operação da máquina indicam que seu índice de desempenho é [tex3]80\%[/tex3] . Ele afirma que é possível racionalizar a operação acoplando uma segunda máquina térmica ao reservatório de menor temperatura e fazendo com que esta rejeite calor para o ambiente, que se encontra a [tex3]300 K[/tex3] . Ao ser informado de que apenas [tex3]60\%[/tex3] do calor rejeitado pela primeira máquina pode ser efetivamente aproveitado, o engenheiro argumenta que, sob estas condições, a segunda máquina pode disponibilizar uma quantidade de trabalho igual a [tex3]30\%[/tex3] da primeira máquina. Admite-se que o índice de desempenho de segunda máquina, que também opera em um ciclo termodinâmico, é metade do da primeira máquina. Por meio de uma análise termodinâmica do problema, verifique se o valor de [tex3]30\%[/tex3] está correto.
Observação:
O índice de desempenho de uma máquina térmica é a razão entre o seu rendimento real e o rendimento máximo teoricamente admissível.

Resposta

Conclui-se que o valor de [tex3]30\%[/tex3] está incorreto.

Solução do Problema 25

Para a primeira máquina temos,
[tex3]\eta _1=1-\frac{T_f}{T_q}=1-\frac{600}{1000}=40\%[/tex3]

Do enunciado temos,
[tex3]0,8=\frac{\eta _{real}}{\eta_{teo}}=\frac{W_1/Q_1}{0,4}[/tex3]
[tex3]W_1=0,32Q_1[/tex3]
[tex3]Q_2=0,68Q_1[/tex3]

Para a segunda máquina
[tex3]\eta _2=1-\frac{T_f}{T_q}=1-\frac{300}{600}=50\%[/tex3]

Do enunciado temos,
[tex3]\frac{0,8}{2}=\frac{\eta _{real}}{\eta_{teo}}=\frac{W_2/Q'_1}{0,5}=\frac{W_2/0,6Q_2}{0,5}[/tex3]
[tex3]0,4=\frac{W_2/0,68Q_1}{0,3}[/tex3]
[tex3]W_2=0,12\cdot 0,68Q_1[/tex3]

Assim temos
[tex3]W_2=0,12\cdot 0,68\cdot \frac{W_1}{0,32}=0,255W_1[/tex3]

Portanto, conclui-se que o valor de [tex3]30\%[/tex3] está incorreto, pois o valor correto é [tex3]25,5\%[/tex3] .

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Problema 26

(IME - 1978/1979) Uma película de faces paralelas planas com espessura constante de [tex3]4\times 10^{-7}m[/tex3] e com índice de refração de [tex3]2,0[/tex3] imersa no ar, é iluminada por um feixe paralelo de luz branca que incide perpendicularmente sobre ela. Calcule os comprimentos de onda, contidos no espectro visível no ar (de [tex3]\lambda =4\times 10^{-7}m[/tex3] ate [tex3]\lambda =7\times 10^{-7}m[/tex3] ), que são refletidos mais intensamente.

Resposta

[tex3]4,6\times 10^{-7}m[/tex3] e [tex3]6,4\times 10^{-7}m[/tex3]

Solução do Problema 26

Para as ondas refletidas mais intensamente ocorreu uma interferência construtiva entre elas. Da equação das lâminas para interferência construtiva:

[tex3]2d=\frac{(2n+1)}{2}\cdot \lambda_p,\,\,\,n\in\mathbb{Z}[/tex3] , sendo [tex3]d[/tex3] a espessura da lâmina e [tex3]\lambda[/tex3] o comprimento de onda na película. O comprimento de onda no ar vale [tex3]\lambda=\lambda_p n_p[/tex3]

[tex3]\lambda=\frac{4dn_p}{2n+1}[/tex3]
[tex3]\lambda=\frac{4\cdot (4\cdot 10^{-7})\cdot 2}{2n+1}=\frac{32\cdot 10^{-7}}{2n+1}[/tex3]

Para o espectro visível no ar vamos obter os comprimentos fazendo [tex3]n=2\,\,\therefore\,\,\boxed{\lambda=6,4\cdot 10^{-7}\,m}[/tex3] e [tex3]n=3\,\,\therefore\,\,\boxed{\lambda\,\,\approx\,\,4,57\cdot 10^{-7}\,m}[/tex3]

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Problema 27

(IME - 1990/91) As transformações politrópicas dos gases perfeitos são regidas pela equação [tex3]PV^n=K[/tex3] , onde [tex3]P[/tex3] é a pressão do gás, [tex3]V[/tex3] o seu volume e [tex3]n[/tex3] e [tex3]K[/tex3] são constantes. Determine o valor de [tex3]n[/tex3] para que a constante [tex3]K[/tex3] tenha a dimensional de trabalho.

Resposta

[tex3]n=1[/tex3]

Solução do Problema 27

Reescrevendo,
[tex3]\frac{F}{A}V^n=K=Fd,[/tex3]
[tex3]\frac{MT^{-1}}{L^2}(L^3)^n=MT^{-1}L[/tex3]
[tex3](L^3)^n=L^2L[/tex3]
[tex3]L^{3n}=L^3[/tex3]
[tex3]\boxed{n=1}[/tex3]

Sem fazer análise dimensional, poderíamos ver
[tex3]V^n=Ad[/tex3]

Mas [tex3]Ad[/tex3] tem dimensão de volume assim [tex3]n=1[/tex3] .

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Problema 28

(IME - 1990) A potência [tex3]P[/tex3] de uma hélice de avião depende do raio [tex3]R[/tex3] da hélice, de sua velocidade angular [tex3]w[/tex3] e da massa específica do ar . Um aluno fica em dúvida se a equação correta que liga estas grandezas é [tex3]P = kw^3R^5\mu[/tex3] ou [tex3]P = kw^5R^3\mu[/tex3] , em que [tex3]k[/tex3] é uma constante adimensional.
Identifique a equação correta e justifique sua afirmação.

Resposta

[tex3]P = kw^3R^5\mu[/tex3] , justificativa pode ser feita pela análise dimensional.

Solução do Problema 28

[tex3][P]=\frac{Nm}{s}=\frac{ML^2}{T^3}[/tex3]
[tex3][\mu]=\frac{kq}{m^3}=\frac{M}{L^3}[/tex3]
[tex3][w]=\frac{rad}{s}=\frac{1}{T}[/tex3]
[tex3][R]=L[/tex3]

Logo temos:
[tex3][P]=[k][w]^{\alpha}[R]^{\beta}[\mu]^{\gamma}[/tex3]
[tex3]ML^2T^{-3}=1\cdot (T^{-\alpha})\cdot (L^{\beta})\cdot (M^{\gamma}\cdot L^{-3\gamma})[/tex3]
[tex3]ML^2T^{-3}=M^{\gamma}\cdot L^{\beta-3\gamma}\cdot T^{-\alpha}[/tex3]

Comparando:
[tex3]\begin{cases}\gamma=1\\-\alpha=-3\\\beta-3\gamma=2\end{cases}[/tex3]

De onde tiramos também, [tex3]\beta=5[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{P=kw^3R^5\mu}[/tex3] . A primeira equação está correta.

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Problema 29

(IME - 2004) Cinco cubos idênticos de aresta [tex3]L[/tex3] e massa específica [tex3]\mu[/tex3] , estão dispostos em um sistema em equilíbrio, como mostra a figura Uma mola de constante elástica [tex3]k[/tex3] é comprimida e ligada ao cubo do centro, que se encontra sobre o pistão do cilindro maior de diâmetro [tex3]D[/tex3] de um dispositivo hidráulico. Os demais cilindros deste dispositivo são idênticos e possuem diâmetro [tex3]d[/tex3] . Em uma das extremidades do dispositivo hidráulico existe um cubo suspenso por um braço de alavanca. Na outra extremidade existe outro cubo ligado a fios ideais e a um conjunto de roldanas. Este conjunto mantém suspenso um cubo totalmente imerso em um líquido de massa específica [tex3]\rho[/tex3] . Sengo [tex3]g[/tex3] a aceleração da gravidade e desprezando as massas das alavancas, pistões, fios e roldanas, determine:

: ime2004.png (21.15 KiB) Exibido 4875 vezes

a) A relação [tex3]\frac{L_a}{L_b}[/tex3] dos comprimentos do braço da alavanca no equilíbrio em função de [tex3]\rho[/tex3] e [tex3]\mu[/tex3] ;
b) O comprimento [tex3]\Delta x[/tex3] de compressão da mola para o equilíbrio.

Resposta

[tex3]a)\,\,\frac{L_a}{L_b}=\frac{\mu-\rho}{2\mu}\right)[/tex3]
[tex3]b)\,\,\Delta x=\frac{L^3g}{2kd^2}\cdot \left[\mu(D^2-2d^2)+\rho D^2\right][/tex3]

Solução do Problema 29

a)
Numerando os bloquinhos da esquerda para a direita. Para o segundo bloco temos
[tex3]P\cdot L_a=(P-N)\cdot L_b[/tex3]
[tex3]\frac{L_a}{L_b}=\frac{P-N}{P}[/tex3]

Analisando o bloquinho submerso
[tex3]P=2T+E[/tex3]

E também temos,
[tex3]P=T+N[/tex3]
[tex3]N=P-(\frac{P-E}{2})=\frac{P+E}{2}[/tex3]

Como o diâmetro em ambos bloquinhos são iguais, as normais serão iguais. Substituindo [tex3]N[/tex3]
[tex3]\frac{L_a}{L_b}=1-\frac{P+E}{2P}=\frac{P-E}{2P}[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{L_a}{L_b}=\frac{\mu-\rho}{2\mu}}[/tex3]

b)
Sabemos que
[tex3]\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}[/tex3]
[tex3]\frac{N_1}{\frac{\pi D^2}{4}}=\frac{N}{\frac{\pi d^2}{4}}[/tex3]
[tex3]N_1=\frac{P+E}{2}\cdot \frac{D^2}{d^2}[/tex3]
[tex3]N_1=\frac{(\mu + \rho)gL^3}{2}\cdot \frac{D^2}{d^2}[/tex3]

Analisando a mola
[tex3]k\cdot \Delta x=N_1-P=\frac{(\mu + \rho)gL^3}{2}\cdot \frac{D^2}{d^2}-\mu gL^3[/tex3]
[tex3]\boxed{\Delta x=\frac{L^3g}{2kd^2}\cdot \left[\mu(D^2-2d^2)+\rho D^2\right]}[/tex3]

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Problema 30

(ITA-1977) Um gerador de força eletromotriz igual a [tex3]6,0[/tex3] volt é ligado conforme mostra a figura. Sabendo-se que o rendimento (ou eficiência) do gerador neste circuito é de [tex3]90\%[/tex3] , pode-se concluir que:

: ITA_1977.png (4.21 KiB) Exibido 4858 vezes

a) a corrente no gerador deverá ser de [tex3]0,36A[/tex3] .
b) a potência útil deverá ser maior que [tex3]1,96W[/tex3] .
c) a potência total do gerador deverá ser de [tex3]2,4W[/tex3] .
d) a corrente no gerador deverá ser maior que [tex3]0,40A[/tex3] .
e) nenhuma das afirmações acima é correta.

Resposta

Letra A

Maratonas de Física ⇒ III Maratona de Física IME/ITA

Re: III Maratona de Física IME/ITA

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