Solução do Problema 45
Queremos saber os valores de [tex3]x[/tex3]
tal que [tex3]2^x-x^2\equiv 0\pmod 7[/tex3]
, ou então,[tex3]2^x\equiv x^2\pmod 7[/tex3]
. Para que isso seja verdade basta encontrar os valores de [tex3]x[/tex3]
que deixa os mesmos restos tanto [tex3]2^x[/tex3]
quanto [tex3]x^2[/tex3]
ao dividir por [tex3]7[/tex3]
.
[tex3]2^1\equiv 2\pmod 7[/tex3]
[tex3]2^2\equiv 4\pmod 7[/tex3]
[tex3]2^3\equiv 1\pmod 7[/tex3]
[tex3]2^4\equiv 2\pmod 7[/tex3]
, começou o ciclo novamente.
[tex3]2^5\equiv 4\pmod 7[/tex3]
Também temos,
[tex3]x\equiv 1\pmod 7\Rightarrow x^2\equiv 1\pmod 7[/tex3]
[tex3]x\equiv 2\pmod 7\Rightarrow x^2\equiv 4\pmod 7[/tex3]
[tex3]x\equiv 3\pmod 7\Rightarrow x^2\equiv 2\pmod 7[/tex3]
[tex3]x\equiv 4\pmod 7\Rightarrow x^2\equiv 2\pmod 7[/tex3]
[tex3]x\equiv 5\pmod 7\Rightarrow x^2\equiv 4\pmod 7[/tex3]
[tex3]x\equiv 6\pmod 7\Rightarrow x^2\equiv 1\pmod 7[/tex3]
----------------------------------------------------------
Para os que deixam resto [tex3]1[/tex3]
temos
[tex3]2^x\equiv 1\pmod 7[/tex3]
, para [tex3]x=3k,k\in\mathrm{N^*}[/tex3]
[tex3]x^2\equiv 1\pmod 7[/tex3]
, para [tex3]x=7t+1,t\in\mathrm{N^*}[/tex3]
Teremos a seguinte sequencia [tex3](15,36,57,\cdots ,19986)[/tex3]
[tex3]n=\frac{19986-15}{21}+1=952[/tex3]
[tex3]2^x\equiv 1\pmod 7[/tex3]
, para [tex3]x=3k,k\in\mathrm{N^*}[/tex3]
[tex3]x^2\equiv 1\pmod 7[/tex3]
, para [tex3]x=7t+6,t\in\mathrm{N^*}[/tex3]
Teremos a seguinte sequencia [tex3](6,27,48,\cdots ,19998)[/tex3]
[tex3]n=\frac{19998-6}{21}+1=953[/tex3]
----------------------------------------------------------
Para os que deixam resto [tex3]2[/tex3]
temos
[tex3]2^x\equiv 2\pmod 7[/tex3]
, para [tex3]x=3k+1,k\in\mathrm{N^*}[/tex3]
[tex3]x^2\equiv 2\pmod 7[/tex3]
, para [tex3]x=7t+3,t\in\mathrm{N^*}[/tex3]
Teremos a seguinte sequencia [tex3](10,31,52,\cdots ,19981)[/tex3]
[tex3]n=\frac{19981-10}{21}+1=952[/tex3]
[tex3]2^x\equiv 2\pmod 7[/tex3]
, para [tex3]x=3k+1,k\in\mathrm{N^*}[/tex3]
[tex3]x^2\equiv 2\pmod 7[/tex3]
, para [tex3]x=7t+4,t\in\mathrm{N^*}[/tex3]
Teremos a seguinte sequencia [tex3](4,25,46,\cdots ,19996)[/tex3]
[tex3]n=\frac{19996-4}{21}+1=953[/tex3]
----------------------------------------------------------
Para os que deixam resto [tex3]4[/tex3]
temos
[tex3]2^x\equiv 4\pmod 7[/tex3]
, para [tex3]x=3k+2,k\in\mathrm{N^*}[/tex3]
[tex3]x^2\equiv 4\pmod 7[/tex3]
, para [tex3]x=7t+2,t\in\mathrm{N^*}[/tex3]
Teremos a seguinte sequencia [tex3](2,23,45,\cdots ,19994)[/tex3]
[tex3]n=\frac{19994-2}{21}+1=953[/tex3]
[tex3]2^x\equiv 4\pmod 7[/tex3]
, para [tex3]x=3k+2,k\in\mathrm{N^*}[/tex3]
[tex3]x^2\equiv 4\pmod 7[/tex3]
, para [tex3]x=7t+5,t\in\mathrm{N^*}[/tex3]
Teremos a seguinte sequencia [tex3](5,26,47,\cdots ,19997)[/tex3]
[tex3]n=\frac{19997-5}{21}+1=953[/tex3]
----------------------------------------------------------
Assim a soma desejada vale,
[tex3]S=2\cdot 952+3\cdot 953[/tex3]
[tex3]\boxed{S=5716}[/tex3]
---------------------------------------------
Problema 46
(ITA - 1969) Sejam [tex3]f(x) = x^2 + 1[/tex3]
e [tex3]g(x) = x-1[/tex3]
duas funções reais de variável real. Então [tex3](gof)(y-1)[/tex3]
é igual a:
A) [tex3]y^2-2y + 1[/tex3]
B) [tex3](y-1)^2 + 1[/tex3]
C) [tex3]y^2 + 2y-2[/tex3]
D) [tex3]y^2-2y + 3[/tex3]
E) [tex3]y^2-1[/tex3]