Num triângulo ABC,a medida do lado [tex3]\overline{AB}[/tex3]
é o dobro da medida do lado [tex3]\overline{AC}[/tex3]
. Traça-se a mediana [tex3]\overline{AM}[/tex3]
e a bissetriz [tex3]\overline{AD}[/tex3]
([tex3]M[/tex3]
e [tex3]D[/tex3]
pertencentes a [tex3]\overline{BC}[/tex3]
). Se a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3]
é [tex3]S,[/tex3]
então a área do triângulo [tex3]AMD[/tex3]
é:
a) [tex3]\frac{S}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{S}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{S}{6}[/tex3]
d) [tex3]\frac{3S}{8}[/tex3]
e) [tex3]\frac{S}{12}[/tex3]
IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1984) Geometria Plana: Áreas de Figuras Planas Tópico resolvido
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16:38
(Colégio Naval - 1984) Geometria Plana: Áreas de Figuras Planas
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JOSE CARLOS
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Fernando Jaeger
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Dez 2006
31
21:55
Re: (Colégio Naval - 1984) Geometria Plana: Áreas de Figuras Planas
Após desenhar a figura descrita no enunciado, vamos denotar a medida AC = x. Consequentemente, AB = 2x.
Como M é o ponto médio de BC, os triangulos ABM e ACM são equivalentes, possuindo, cada um deles, portanto, área igual a S/2.
Denotando a medida da bissetriz de b, e observando que os ângulos CAD e BAD são iguais (chamaremos cada ângulo congruente de a) temos que a soma das áreas dos triângulos ACD e ABD vale S. Portanto:
[tex3]\frac{b.x.sen(a)}{2} + \frac{b.2x.sen(a)}{2}[/tex3] = S
Logo,
b = [tex3]\frac{2S}{3.x.sen(a)}[/tex3]
Sendo assim, a área A do triângulo ACD pode ser calculada da seguinte maneira:
A = [tex3]\frac{x.b.sen(a)}{2}[/tex3]
Substituindo o valor calculado de b, temos que A = S/3
A área do triangulo ADM pode ser calculada subtraindo - se a área ACD da área ACM.
Portanto, a área procurada vale S/2 - S/3 = S/6
Alternativa c
Como M é o ponto médio de BC, os triangulos ABM e ACM são equivalentes, possuindo, cada um deles, portanto, área igual a S/2.
Denotando a medida da bissetriz de b, e observando que os ângulos CAD e BAD são iguais (chamaremos cada ângulo congruente de a) temos que a soma das áreas dos triângulos ACD e ABD vale S. Portanto:
[tex3]\frac{b.x.sen(a)}{2} + \frac{b.2x.sen(a)}{2}[/tex3] = S
Logo,
b = [tex3]\frac{2S}{3.x.sen(a)}[/tex3]
Sendo assim, a área A do triângulo ACD pode ser calculada da seguinte maneira:
A = [tex3]\frac{x.b.sen(a)}{2}[/tex3]
Substituindo o valor calculado de b, temos que A = S/3
A área do triangulo ADM pode ser calculada subtraindo - se a área ACD da área ACM.
Portanto, a área procurada vale S/2 - S/3 = S/6
Alternativa c
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