Ensino Médio

Um mestre de ginástica quer dispor 1152 alunos em quadrado deixando no meio um quadrado vazio que conteria 42 alunos de cada lado. Quantos alunos terá a fila do exterior do quadrado e qual o número de filas ?

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A PA tem:

[tex3]a_n=a_1+(n-1)r\text e a soma S=\frac{(a_1+a_n).n}{2}[/tex3]

sendo [tex3]S_1=\frac{(44+a_{n1}).n}{2}\text e S_2=\frac{(42+a_{n2}).n}{2}\text sendo 2S_1+2S_2=1152[/tex3]

[tex3]a_{n1}=44+(n-1).2[/tex3] => [tex3]a_{n1}=42+2n[/tex3]
[tex3]a_{n2}=42+(n-1).2[/tex3] => [tex3]a_{n2}=40+2n[/tex3]

[tex3]S_1=\frac{(44+42+2n).n}{2}\text e S_2=\frac{(42+40+2n).n}{2}\text sendo 2S_1+2S_2=(44+42+2n).n+(42+40+2n).n=1152[/tex3]

o desenvolvimento chega em: [tex3]n^2+42n-288=0[/tex3] e o valor positivo é [tex3]n=6[/tex3] e então

[tex3]a_{n1}=44+(6-1).2\text => a_n=54[/tex3]

o número total de filas é [tex3]2n+42=54[/tex3] com [tex3]54[/tex3] alunos na última fila.

como conferência: [tex3]54^2-42^2=1152[/tex3]

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