A temperatura [tex3]Y(t)[/tex3]
de um corpo - em função do tempo [tex3]t \geq 0[/tex3]
, dado em minutos - varia de acordo com a expressão [tex3]Y(t)= Ya+ Be^{kt}[/tex3]
, sendo [tex3]Ya[/tex3]
a temperatura do meio em que se encontra o corpo e [tex3]B[/tex3]
e [tex3]k[/tex3]
constantes.
suponha que no instante [tex3]t=0[/tex3]
, um corpo, com uma temperatura de [tex3]75^0C[/tex3]
, é imerso em água, que é mantida a uma temperatura de [tex3]25^0C[/tex3]
. Sabendo que ,depois de 1 minuto, a temperatura do corpo é de [tex3]50^0C[/tex3]
, calcule o tempo para que, depois de imerso na água, a temperatura do corpo seja igual a [tex3]37^0C[/tex3]
.
Física II ⇒ Temperatura em função do tempo Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2007
16
13:24
Temperatura em função do tempo
Editado pela última vez por b4 em 16 Nov 2007, 13:24, em um total de 1 vez.
Nov 2007
16
15:17
Re: Temperatura em função do tempo
Pelos dados do enunciado temos [tex3]Y(0) = 75[/tex3]
e [tex3]Y_{a} = 25[/tex3]
, assim
[tex3]Y(0) = 25 + Be^{k.0} = 25 + B = 75 -> B = 50[/tex3] .
Portanto a temperatura do corpo na água é dada por: [tex3]Y(t) = 25 + 50e^{kt}[/tex3] .
Como [tex3]Y(1) = 50[/tex3] , temos
[tex3]50 = 25 + 50e^{k} -> e^{k} = \frac{1}{2} -> k = \ln (1/2).[/tex3]
Portanto, [tex3]Y(t) = 25 + 50e^{t\ln (1/2)} = 25 + 50[e^{\ln (1/2)}]^{t} = 25 + 50(1/2)^{t}[/tex3] .
Vamos calcular [tex3]t[/tex3] para o qual [tex3]Y(t) = 37[/tex3] ,
[tex3]25 + 50(1/2)^{t} = 37 -> \frac{50}{2^{t}} = 12 -> 2^{t} = \frac{25}{6} -> t = \log_{2} (25/6) min[/tex3] .
[tex3]Y(0) = 25 + Be^{k.0} = 25 + B = 75 -> B = 50[/tex3] .
Portanto a temperatura do corpo na água é dada por: [tex3]Y(t) = 25 + 50e^{kt}[/tex3] .
Como [tex3]Y(1) = 50[/tex3] , temos
[tex3]50 = 25 + 50e^{k} -> e^{k} = \frac{1}{2} -> k = \ln (1/2).[/tex3]
Portanto, [tex3]Y(t) = 25 + 50e^{t\ln (1/2)} = 25 + 50[e^{\ln (1/2)}]^{t} = 25 + 50(1/2)^{t}[/tex3] .
Vamos calcular [tex3]t[/tex3] para o qual [tex3]Y(t) = 37[/tex3] ,
[tex3]25 + 50(1/2)^{t} = 37 -> \frac{50}{2^{t}} = 12 -> 2^{t} = \frac{25}{6} -> t = \log_{2} (25/6) min[/tex3] .
Editado pela última vez por John em 16 Nov 2007, 15:17, em um total de 1 vez.
Nov 2007
16
16:19
Re: Temperatura em função do tempo
Se eu não estou errando no calculo do logarítmo, então a resposta seria [tex3]2,74[/tex3]
minutos, mas a resposta do exercicio é [tex3]2[/tex3]
minutos. É esse o procedimento do calculo mesmo?
Editado pela última vez por b4 em 16 Nov 2007, 16:19, em um total de 1 vez.
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Alexandre_SC
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Nov 2007
25
11:08
Re: Temperatura em função do tempo
Usei A Temperatura Em Kelvin, E Dá A Mesma Resposta
Vai ver eles arredondaram , veja
[tex3]Log_2\left(\frac{25}{6}\right) = \frac{2Ln(5)-Ln(6)}{Ln(2)} \approx \frac{3.2188-1,79175}{0.69314}\approx 2.058893[/tex3]
Editado pela última vez por Alexandre_SC em 25 Nov 2007, 11:08, em um total de 1 vez.
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