Demonstração - modelo atômico de Bohr

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emanuel9393: Mensagens: 2659; Registrado em: 28 Dez 2011, 20:39; Última visita: 15-09-24; Localização: Petrolina - PE; Agradeceu: 623 vezes; Agradeceram: 1044 vezes

Jul 2012 27 02:10

Demonstração - modelo atômico de Bohr

Mensagempor emanuel9393 » 27 Jul 2012, 02:10

Mensagem por emanuel9393 » 27 Jul 2012, 02:10

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Hipótese:
Considere um átomo de hidrogênio representado abaixo. Sendo $e$ , $\hbar$ , $k_{0}$ e $m$ a carga elétrica elementar, o momento angular do elétron, a constante eletrostática do vácuo e a massa do elétron.

: Demonstração 3.JPG (6.2 KiB) Exibido 4610 vezes

Mostre que o raio de Bohr ( $r_{b}$ ) e a energia mecânica ( $E_{m}$ ) do elétron são dados por:
$r_{b} \, = \, \frac{\hbar^{2}}{m \cdot k_{o} \cdot e^{2}}$ e $E_{m} \, = \, - \, \frac{m \cdot k_{0}^{2} \cdot e^{4}}{2 \cdot \hbar^{2}} \cdot \left(\frac{1}{n}\right)$ onde $n \, \in \, \mathbb{N}_{+}$ .
-------------------------------------------------------------------------------
Demonstração:
A força de atração eletrostática é a resultante centrípeta. Nesse caso, podemos fazer

: Demosntração 3.1.JPG (5.56 KiB) Exibido 4610 vezes

$F_{e} \, = \, \frac{m \cdot v^{2}}{r_{b}} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, k_{0} \cdot \frac{e^{2}}{r_{b}^{2}} \, = \, \frac{m \cdot v^{2}}{r_{b}} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, k_{0} \cdot \frac{e^{2}}{r_{b}} \, = \, m \cdot v^{2} \,\,\, (I)$
Da definição de momento angular de uma partícula elementar em um raio de Bohr, tiramos:
$m \cdot v \cdot r_{b} \, = \, \hbar \,\,\, \Rightarrow \,\,\, v \, = \, \frac{\hbar}{m \cdot r_{b}} \,\,\, (II)$
Substituindo $(II)$ em $(I)$ , encontramos:
$k_{0} \cdot \frac{e^{2}}{r_{b}} \, = \, m \cdot v^{2} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, k_{0} \cdot \frac{e^{2}}{r_{b}} \, = \, m \cdot \frac{\hbar^{2}}{m^{2} \cdot r_{b}^{2}} \\ \\ \\ \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{r_{b} \, = \, \frac{\hbar^{2}}{m \cdot k_{0} \cdot e^{2}}}}$
A energia mecânica total do elétron em uma orbital $n$ qualquer é dada por:
$E_{m} \, = \, E_{c} \, + \, E_{p} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, E_{m} \, = \, \frac{m \cdot v^{2}}{2} \, + \, k_{0} \cdot \frac{e \cdot \left(- \, e\right)}{r_{n}} \,\,\,\,\,\,\, (III)$
De $(I)$ e $(III)$ , tiramos:
$E_{m} \, = \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{2 \cdot r_{n}} \, - \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{ r_{n}} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, E_{m} \, = \, - \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{2 \cdot r_{n}} \,\,\,\,\, (IV)$
Conforme os postulados de Bohr, temos:
$r_{n} \, = \, n^{2} \cdot r_{b} \,\,\, \left(n \, \in \, \mathbb{N}_{+}\right)\,\,\,\,\,\,\, (V)$
De $(V)$ e $(IV)$ , tiramos:
$E_{m} \, = \, - \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{2 \cdot r_{n}} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, E_{m} \, = \, - \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{2 \cdot r_{b}} \cdot \left(\frac{1}{n^{2}}\right)$
Substituindo o valor de $r_{b}$ encontrado na expressão acima, vem:
$E_{m} \, = \, - \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{2 } \cdot \left(\frac{m \cdot k_{0} \cdot e^{2}}{\hbar^{2}}\right)\left(\frac{1}{n^{2}}\right) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{ E_{m} \, = \, - \, \frac{m \cdot k_{0}^{2} \cdot e^{4}}{2 \cdot \hbar^{2}} \cdot \left(\frac{1}{n}\right)}}$
Essa foi uma forma que eu criei de demonstrar os postulados de Bohr sem utilizar mecânica estatística.
Espero que gostem!

Editado pela última vez por emanuel9393 em 27 Jul 2012, 02:10, em um total de 1 vez.

As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...

emanuel9393

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