Ensino Médio

Determine todos pares de inteiros $(x,y)$ tais que $1+2^x+2^{x+1}=y^2$ .

Observamos que (0,2) é solução.

Temos que [tex3]3\cdot2^x + 1[/tex3] deve ser um quadrado perfeito.
Analisando os últimos dígitos, temos que y deve ser um inteiro terminado em 3 ou 5.
Se é terminado em 5, então y = 5k. Assim:

[tex3]3\cdot2^x = (5k+1)(5k-1)[/tex3]

A parcela da direita da igualdade só pode ter fatores 2 e apenas um fator 3.

No outro caso, chamando [tex3]y=10k+3[/tex3] , temos:

[tex3]3\cdot2^x = 4(5k+1)(5k+2)[/tex3] .

Agora fica mais fácil de analisar. Falta considerar um monte de casos, mas creio que sai.

Mensagem não lidapor **Ivo213** » Sex 30 Mar, 2012 19:30 · Mensagem não lida por **Ivo213** » Sex 30 Mar, 2012 19:30

theblackmamba escreveu:Determine todos pares de inteiros $(x,y)$

Código: Selecionar tudo

[tex3](x,y)[/tex3]

tais que $1+2^x+2^{x+1}=y^2$

Código: Selecionar tudo

[tex3]1+2^x+2^{x+1}=y^2[/tex3]

.

Boa tarde!

$1+2^x+2^{x+1}=y^2$

[tex3]y^{2} - 1 = 2^{x} + 2^{x+1} = 2^{x}(1+2) = 3*2^{x}[/tex3]

[tex3](y + 1)(y - 1) = 3*2^{x}[/tex3]

A diferença entre os dois fatores do primeiro membro é igual a:
[tex3](y + 1) - (y - 1) = y + 1 - y - 1 = 2[/tex3]

Podemos, então, fazer:
[tex3]y + 1 = p[/tex3]
[tex3]y - 1 = p - 2[/tex3]

[tex3]p * (p-2) = 3 * 2^{x}[/tex3]

Passando para logaritmos, fica:
[tex3]log(p) + log(p-2) = log(3) + x*log(2)[/tex3]
[tex3]x*log(2) = log(p) + log(p-2) - log(3)[/tex3]

[tex3]x = \frac{log(p) + log(p-2) - log(3)}{log(2)}[/tex3]

Como x deve ser inteiro, um dos dois primeiros logs do numerador deverá conter, entre diferentes quantidades de log(2), um (e somente um) log(3), para assim anular o log(3) negativo que está no final do numerador.

Assim sendo, podemos fazer:
[tex3]p = 3*2^{t}[/tex3]
[tex3]p-2 = 2^{u}[/tex3]

Cujas únicas soluções possíveis são três:
(i)
[tex3]t = 0[/tex3]
[tex3]u = 0[/tex3]

[tex3]p = 3*2^0 = 3*1 = 3[/tex3]
[tex3]p-2 = 2^0 = 1[/tex3]

[tex3]3*1 + 1 = 4 = 2^{2}[/tex3]
[tex3]1 + 2^{0} + 2^{1} = 2^{2}[/tex3]
$(x1,y1) = (0,2)$

(ii)
[tex3]t = 1[/tex3]
[tex3]u = 2[/tex3]

[tex3]p = 3*2^1 = 3*2 = 6[/tex3]
[tex3]p-2 = 2^2 = 4[/tex3]

[tex3]6*4 + 1 = 25 = 5^{2}[/tex3]
[tex3]1 + 2^{3} + 2^{4} = 5^{2}[/tex3]
$(x2,y2) = (3,5)$

Agora, nesta, invertemos os valores entre p e p-2:

(iii)
[tex3]t = 1[/tex3]
[tex3]u = 3[/tex3]

[tex3]p = 2^{3} = 8[/tex3]
[tex3]p-2 = 3*2^{1}[/tex3]

[tex3]6*8 + 1 = 49 = 7^{2}[/tex3]
[tex3]1 + 2^{4} + 2^{5} = 7^{2}[/tex3]
$(x3,y3) = (4,7)$

==============================================================================
Uma outra maneira de resolver seria analisar a casa das unidades de [tex3]y^{2}[/tex3] na equação:
[tex3]3*2^{x} = y^{2} - 1[/tex3]

Os quadrados perfeitos terminam somente em:
[tex3]0, 1, 4, 5, 6, 9[/tex3]

Portanto, as possíveis terminações de [tex3]y^{2} - 1[/tex3] , seriam:
[tex3]9, 0, 3, 4, 5, 8[/tex3]

Analisemos, então, essas possibilidades:
[tex3]3*2^{x} = ___9\rightarrow[/tex3] Não seria possível, pois o produto só será ímpar para x=0.
[tex3]3*2^{x} = ___0\rightarrow[/tex3] Também não, pois teria quer múltiplo de 10, ou seja, teria que ter fator primo 5.
[tex3]3*2^{x} = ___3\rightarrow[/tex3] Única possibilidade é ser x=0; senão produto será par[tex3]3*2^{0} = 3*1 = 3[/tex3]
[tex3]3*2^{x} = ___4\rightarrow[/tex3] Única possibilidade é ser x=3 [tex3]\rightarrow 3*2^{3} = 3*8 = 24[/tex3]
[tex3]3*2^{x} = ___5\rightarrow[/tex3] Não seria possível, pois seria um número divisível por 5, exigindo a presença do fator 5.
[tex3]3*2^{x} = ___8\rightarrow[/tex3] Única possibilidade é ser x=4 [tex3]\rightarrow 3*2^{4} = 3*16 = 48[/tex3]

Assim, as soluções possíveis seriam as mesmas três, com x=0,3,4 e y=2,5,7 formando os pares:
[tex3](x,y) = (0,2) ou (3,5) ou (4,7)[/tex3]

Um abraço.

theblackmamba escreveu:Determine todos pares de inteiros $(x,y)$

Código: Selecionar tudo

[tex3](x,y)[/tex3]

tais que $1+2^x+2^{x+1}=y^2$

Código: Selecionar tudo

[tex3]1+2^x+2^{x+1}=y^2[/tex3]

.

Olá Theblackmamba! Acho que encontrei outra solução alternativa:

$1+2^x+2^{x+1}=y^2\Longleftrightarrow \ 2^{x}+2^{x+1}=y^2-1\Longleftrightarrow \ 3\cdot2^x=(y+1)(y-1)$

Calculemos $MDC(y+1,y-1)=(y+1-(y-1),y-1)=(2,y-1)=\begin{cases} 2, \ se \ y\ \text{impar}\\ 1, \ \text{se}\ y\ \text{ par}\end{cases}$

No caso em que $y$ é ímpar, significa que um dos fatores $(y+1)$ ou $(y-1)$ é divisível por uma potência de $2$ e o outro fator é divisível somente por $2^1.$ Isso significa que podemos escrever um dos fatores como $\alpha2^k$ e o outro como $2\beta,$ com $MDC(\alpha,\beta)=1,$ ambos ímpares. Colocando na equação:

$(\alpha2^k)(2\beta)=3\cdot 2^x$

$\alpha\beta2^{k+1}=3\cdot 2^x$ , como $MDC(\alpha,\beta)=1,$ eles não podem ser pares, isso implica $2^{k+1}=2^x\Longrightarrow \ \begin{cases}x=k+1\\ \alpha\beta=3\end{cases}$

Como $\alpha$ e $\beta$ são inteiros, temos as seguintes possibilidades:

$\begin{cases} (I) \ \alpha=1, \ \beta=3\\(II) \ \alpha=3, \ \beta=1\\ (III) \ \alpha=-1, \ \ \beta=-3\\ (IV) \ \alpha=-3 \ \ \beta=-1\end{cases}$

Para $(I),$ temos:

Um dos fatores é $1\cdot2^k$ e o outro é $6$ . Se $k=0,$ como $y+1>y-1,$ temos que $\begin{cases} y+1=6\\ y-1=1\end{cases}.$ Impossível.

Se $k=1,$ como $y+1>y-1$ , $\begin{cases}y-1=2\\ y+1=6\end{cases}$ impossível.

Se $k=2,$ um dos fatores será $2^2=4$ e o outro $6.$ Como $y+1>y-1, \Longrightarrow\begin{cases}y-1=4 \\ y+1=6\end{cases}\Longrightarrow \ y=5 \ e \ x=3.$

Se $k\ge 3\Longrightarrow \ \begin{cases}\alpha2^k=1\cdot2^k\ge 8>2\beta =6\\ y+1>y-1\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases}y+1=2^k \\ y-1=6\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} y=2^k-1\\ y=7\end{cases} \Longrightarrow$

$\ k=3, \ \{y=7 \ e \ x=k+1=4\}$

Para $(II):$

Um dos fatores é $3\cdot2^k$ e o outro é $2.$ Como $\begin{cases} 3\cdot2^k>2, \ \forall \ k\in\mahtbb{Z_+}\\ y+1>y-1\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} y+1=3\cdot 2^k \\ y-1=2\end{cases}$ que não tem solução.

Para $(III):$

Um dos fatores é $-2^k$ e outro é $-6.$

Se $k=0,$ como $y+1>y-1\Longrightarrow \begin{cases}y+1=-1\\ y-1=-6\end{cases}.$ Impossível.

Se $k=1,$ $\begin{cases}y+1=-2\\ y-1=6\end{cases}.$ Impossível.

Se $k=2,$ $\begin{cases}y+1=-4\\ y-1=-6\end{cases}\Longrightarrow \ y=-5 \ e \ x=3.$

Se $k\ge 3,$ $\begin{cases}-2^k<-6\\ y+1>y-1\end{cases}\Longrightarrow \ \begin{cases}y+1=-6\\ y-1=-2^k\end{cases}\Longrightarrow \ y=-7 \ e \ x=4.$

Para $(IV):$

Um dos fatores é $-3\cdot 2^k$ e o outro é $-2.$ Daí temos que

$\begin{cases}-3\cdot 2^k < -2\\ y+1>y-1\end{cases}\Longrightarrow \ \begin{cases}y+1=-2\\ y-1=-3\cdot 2^k\end{cases}\Longrightarrow \ \begin{cases}y=-3\\ y=-3\cdot 2^k+1\end{cases}$ impossível.

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Para $y$ par, $(y+1)(y-1)$ é ímpar, de modo que $3\cdot 2^x$ também é ímpar, logo, $x=0.$ Daí decorre que $y^2-1=3\Longleftrightarrow \ y=\pm2.$

De acordo com as contas os pares seriam: $(x,y):\{(3,5),(4,7),(3,-5)(4,-7),(0,2),(0,-2)\}.$

Resposta

Então fica a dica Theblackmamba, como já viu, o MDC é uma ferramenta muito poderosa em problemas sobre inteiros. O MMC também pode ajudar, junto com os critérios de divisibilidade.

Até.

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