A partir de hoje estarei aqui postando teoremas geométricos, pouco vistos em livros comuns, e que costumam cai no ime pedindo para provar alguma colinearidade entre pontos!!
"Teorema de Menelaus"
Então vale a seguinte propriedade:
[tex3]\frac{\overline{CG}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{AD}}[/tex3]
e [tex3]\frac{\overline{CG}}{\overline{BE}}=\frac{\overline{FC}}{\overline{FB}}[/tex3]
,ou seja, [tex3]\overline{AE}\cdot\overline{CD}\cdot\overline{FB}=\overline{AD}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{FC}[/tex3]
Espero que tenham gostado, então tentem provar a mesma!!!! Bem como tbm sua reciprocidade!!!! fui...
Demonstrações ⇒ Demonstração - Teorema de Menelaus (Geometria Plana) Tópico resolvido
- italoemanuell
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Jun 2007
28
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Demonstração - Teorema de Menelaus (Geometria Plana)
Editado pela última vez por italoemanuell em 28 Jun 2007, 10:36, em um total de 2 vezes.
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Jul 2007
06
20:06
Demonstração do Teorema de Menelaus
Pelo caso AAA, temos: [tex3]\Delta ADE \sim \Delta CDG[/tex3]
[tex3]\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{CG}}{\overline{CD}} \Rightarrow \overline{CG}=\frac{\overline{AE}\cdot \overline{CD}}{\overline{AD}}[/tex3] (I)
Também pelo caso AAA, temos: [tex3]\Delta BEF \sim \Delta CGF[/tex3]
[tex3]\frac{\overline{BE}}{\overline{FB}}=\frac{\overline{CG}}{\overline{FC}} \Rightarrow \overline{CG}=\frac{\overline{BE}\cdot \overline{FC}}{\overline{FB}}[/tex3] (II)
(I)=(II) : [tex3]\frac{\overline{AE}\cdot \overline{CD}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BE}\cdot \overline{FC}}{\overline{FB}} \Rightarrow \overline{AE}\cdot \overline{CD}\cdot \overline{FB}=\overline{AD}\cdot \overline{BE}\cdot \overline{FC}[/tex3]
Editado pela última vez por marco_sx em 06 Jul 2007, 20:06, em um total de 3 vezes.
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Ago 2020
08
22:14
Re: Demonstração - Teorema de Menelaus (Geometria Plana)
Olá gente! Recentemente, um problema me induziu a uma demonstração do teorema de Menelaus que até então eu não tinha visto... e resolvi compartilhar.
Eu sei que muito provavelmente esta demonstração é conhecida ou já foi descoberta mas enfim...
Considere o triângulo [tex3]ABC[/tex3] e a reta [tex3]PR[/tex3] que intercepta [tex3]AC[/tex3] em [tex3]Q[/tex3] : O teorema de Menelaus diz que [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3]
Prova:
Consider a reta [tex3]l[/tex3] paralela a [tex3]PR[/tex3] pelo ponto [tex3]B[/tex3] Pelo teorema de Tales [tex3]\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QT}.[/tex3]
Pelas propriedades do paralelismo [tex3]\triangle QCR \sim \triangle TCB[/tex3] então [tex3]\frac{RB}{RC}=\frac{QT}{QC}.[/tex3]
Assim [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QT}\cdot \frac{QT}{QC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3] como queríamos demonstrar.
Eu sei que muito provavelmente esta demonstração é conhecida ou já foi descoberta mas enfim...
Considere o triângulo [tex3]ABC[/tex3] e a reta [tex3]PR[/tex3] que intercepta [tex3]AC[/tex3] em [tex3]Q[/tex3] : O teorema de Menelaus diz que [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3]
Prova:
Consider a reta [tex3]l[/tex3] paralela a [tex3]PR[/tex3] pelo ponto [tex3]B[/tex3] Pelo teorema de Tales [tex3]\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QT}.[/tex3]
Pelas propriedades do paralelismo [tex3]\triangle QCR \sim \triangle TCB[/tex3] então [tex3]\frac{RB}{RC}=\frac{QT}{QC}.[/tex3]
Assim [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QT}\cdot \frac{QT}{QC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3] como queríamos demonstrar.
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