Ensino Superior ⇒ Derivada da Função Potência Composta

[mateuspos]

Me ajudem a resolver essa derivada por favor

[tex3]f(t) = (3t^4 - 7t^2 + 9)^5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(t) = (3t^4 - 7t^2 + 9)^5[/tex3]

[Diego996]

Olá... essa derivada você consegue resolver facilmente com a Regra da Cadeia...
Vamos lá...
[tex3]y = f(t) = (3t^4 - 7t^2 + 9)^5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y = f(t) = (3t^4 - 7t^2 + 9)^5[/tex3]

Seja:
[tex3]k = 3t^4 - 7t^2 + 9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k = 3t^4 - 7t^2 + 9[/tex3]

e [tex3]y = f(k) = k^5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y = f(k) = k^5[/tex3]

É válida a propriedade:
[tex3]\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dy}}{{dk}} \cdot \frac{{dk}}{{dt}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dy}}{{dk}} \cdot \frac{{dk}}{{dt}}[/tex3]

Sabemos que:
[tex3]\frac{{dy}}{{dk}} = 5k^4 = 5(3t^4 - 7t^2 + 9)^4 \\
\frac{{dk}}{{dt}} = 12t^3 - 14t = 2t(6t^2 - 7)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{{dy}}{{dk}} = 5k^4 = 5(3t^4 - 7t^2 + 9)^4 \\
\frac{{dk}}{{dt}} = 12t^3 - 14t = 2t(6t^2 - 7)[/tex3]

Logo:
[tex3]f'(t) = \frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dy}}{{dk}} \cdot \frac{{dk}}{{dt}} = 5(3t^4 - 7t^2 + 9)^4 \cdot 2t(6t^2 - 7) = 10t(6t^2 - 7)(3t^4 - 7t^2 + 9)^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(t) = \frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dy}}{{dk}} \cdot \frac{{dk}}{{dt}} = 5(3t^4 - 7t^2 + 9)^4 \cdot 2t(6t^2 - 7) = 10t(6t^2 - 7)(3t^4 - 7t^2 + 9)^4[/tex3]

Falow... qualquer dúvida só avisar