Seja [tex3]ABCD[/tex3]
um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja [tex3]I[/tex3]
o ponto de interseção de suas diagonais.
As projeções ortogonais de I sobre os lados [tex3]AB[/tex3]
, [tex3]BC[/tex3]
, [tex3]CD[/tex3]
e [tex3]DA[/tex3]
são, respectivamente, [tex3]M[/tex3]
, [tex3]N[/tex3]
, [tex3]P[/tex3]
e [tex3]Q[/tex3]
. Prove que o quadrilátero [tex3]MNPQ[/tex3]
é circunscritível a um círculo com centro em [tex3]I[/tex3]
.
IME / ITA ⇒ (IME) Geometria
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rean
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22:49
(IME) Geometria
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No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
Rean
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FilipeCaceres
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Jul 2010
29
21:21
Re: (IME) Geometria
Analisando o quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3]
, podemos tirar
[tex3]B\hat{C}A=B\hat{D}A[/tex3]
[tex3]C\hat{A}B=C\hat{D}B[/tex3]
[tex3]D\hat{A}C=D\hat{B}C[/tex3]
[tex3]A\hat{B}C=A\hat{C}D[/tex3]
Analisando ainda [tex3]AMIQ[/tex3] , [tex3]BNIM[/tex3] , [tex3]CPIN[/tex3] , [tex3]DQIP[/tex3] podemos tirar
[tex3]I\hat{Q}M=I\hat{A}M=C\hat{A}B=C\hat{D}B=I\hat{D}P=I\hat{Q}P[/tex3]
[tex3]I\hat{M}N=I\hat{B}N=D\hat{B}C=D\hat{A}C=I\hat{A}Q=I\hat{M}Q[/tex3]
[tex3]I\hat{N}P=I\hat{C}P=A\hat{C}D=A\hat{B}D=I\hat{B}M=I\hat{N}M[/tex3]
[tex3]I\hat{P}Q=I\hat{D}Q=B\hat{D}A=B\hat{C}A=I\hat{C}M=I\hat{P}N[/tex3]
Logo, [tex3]I[/tex3] está nas bissetrizes de [tex3]M\hat{P}Q,N\hat{M}P,P\hat{N}M,Q\hat{P}N[/tex3] de forma que as distâncias de [tex3]I[/tex3] as lados [tex3]QM,\ MN,\ PQ[/tex3] são todas iguais.
Assim, o quadrilátero [tex3]MNPQ[/tex3] é circunscritível a um circulo de centro [tex3]I[/tex3] .
Resolução dada por Sergio Lima Neto
[tex3]B\hat{C}A=B\hat{D}A[/tex3]
[tex3]C\hat{A}B=C\hat{D}B[/tex3]
[tex3]D\hat{A}C=D\hat{B}C[/tex3]
[tex3]A\hat{B}C=A\hat{C}D[/tex3]
Analisando ainda [tex3]AMIQ[/tex3] , [tex3]BNIM[/tex3] , [tex3]CPIN[/tex3] , [tex3]DQIP[/tex3] podemos tirar
[tex3]I\hat{Q}M=I\hat{A}M=C\hat{A}B=C\hat{D}B=I\hat{D}P=I\hat{Q}P[/tex3]
[tex3]I\hat{M}N=I\hat{B}N=D\hat{B}C=D\hat{A}C=I\hat{A}Q=I\hat{M}Q[/tex3]
[tex3]I\hat{N}P=I\hat{C}P=A\hat{C}D=A\hat{B}D=I\hat{B}M=I\hat{N}M[/tex3]
[tex3]I\hat{P}Q=I\hat{D}Q=B\hat{D}A=B\hat{C}A=I\hat{C}M=I\hat{P}N[/tex3]
Logo, [tex3]I[/tex3] está nas bissetrizes de [tex3]M\hat{P}Q,N\hat{M}P,P\hat{N}M,Q\hat{P}N[/tex3] de forma que as distâncias de [tex3]I[/tex3] as lados [tex3]QM,\ MN,\ PQ[/tex3] são todas iguais.
Assim, o quadrilátero [tex3]MNPQ[/tex3] é circunscritível a um circulo de centro [tex3]I[/tex3] .
Resolução dada por Sergio Lima Neto
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