Como foi dito, [tex3]a_1[/tex3]
, [tex3]a_2[/tex3]
e [tex3]a_3[/tex3]
estão em progressão aritmética, então pode-se dizer que:
[tex3]a_1 = 1[/tex3]
[tex3]a_2 = 1 + r[/tex3]
[tex3]a_3 = 1 + 2r[/tex3]
Sendo [tex3]r[/tex3]
a razão desta progressão aritmética, e também sabemos que [tex3]r[/tex3]
deve ser um inteiro positivo (já que [tex3]a_1[/tex3]
, [tex3]a_2[/tex3]
e [tex3]a_3[/tex3]
são inteiros positivos).
Temos a seguinte equação do segundo grau:
[tex3]a_1 x^2 + a_2 x + a_3 = 0[/tex3]
Para que ela tenha 2 raízes reais, [tex3]\Delta > 0[/tex3]
, ou seja:
[tex3]a_2^2 - 4.a_1.a_3 > 0[/tex3]
Substituindo pelas primeiras relações:
[tex3](1 + r)^2 - 4.1.(1 + 2r) > 0[/tex3]
[tex3]1 + 2r + r^2 - 4 - 8r > 0[/tex3]
[tex3]r^2 - 6r - 3 > 0[/tex3]
Agora temos uma inequação do segundo grau, e vamos ver para quais valores de [tex3]r[/tex3]
temos esta inequação resultando valores positivos:
Calculando as raízes:
[tex3]\Delta = 6^2 - 4.1.(-3) = 36 + 12 = 48[/tex3]
[tex3]r = \frac{ 6 \pm\sqrt{48}}{2}[/tex3]
[tex3]r_1 \approx -0,46[/tex3]
[tex3]r_2 \approx 6,46[/tex3]
Como o coeficiente de [tex3]r^2[/tex3]
é positivo, temos uma parábola de concavidade para cima, então a inequação é positiva para valores abaixo de [tex3]r_1[/tex3]
e acima de [tex3]r_2[/tex3]
, e como queremos que [tex3]r[/tex3]
seja positivo, temos que pegar o próximo inteiro positivo maior que [tex3]6,46[/tex3]
, o que nos dá que [tex3]r = 7[/tex3]
- Parábola r^2 - 6r - 3
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Assim, [tex3]a_1 + a_2 + a_3 = 1 + 8 + 15 = 24[/tex3]
A resposta é [tex3]24[/tex3]
.