Concursos Públicos ⇒ Geometria Analítica: Inequações do 2º Grau
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26
11:21
Geometria Analítica: Inequações do 2º Grau
Inscreve-se retângulos na região definida pelas desigualdades [tex3](x-1)^2-3y \leq 9[/tex3]
e [tex3](x-1)^2+y \leq 9 .[/tex3]
Em tais condições, determine a área do retângulo de perímetro máximo.
Última edição: paulo testoni (Qui 26 Jul, 2007 11:21). Total de 1 vez.
Paulo Testoni
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Jul 2007
30
16:51
Re: Geometria Analítica: Inequações do 2º Grau
Olá!
[tex3](x-1)^2-9 \leq 3y \Rightarrow y \geq \frac{1}{3}.(x-4).(x+2)\text{ }(i)[/tex3]
[tex3]y \leq 9-(x-1)^2 \Rightarrow y \leq -(x-4).(x+2)\text{ }(ii)[/tex3]
A região limitada pelas duas desigualdades está indicada na figura abaixo.
Um dos lados do retângulo será [tex3]b=2x[/tex3] e o outro será [tex3]h=-x^2+9 - \left(\frac{x^2}{3}-3\right)=-\frac{4x^2}{3}+12.[/tex3]
Desse modo, o perímetro do retângulo é dado por:
[tex3](x-1)^2-9 \leq 3y \Rightarrow y \geq \frac{1}{3}.(x-4).(x+2)\text{ }(i)[/tex3]
[tex3]y \leq 9-(x-1)^2 \Rightarrow y \leq -(x-4).(x+2)\text{ }(ii)[/tex3]
A região limitada pelas duas desigualdades está indicada na figura abaixo.
- [tex3]y_i=\frac{1}{3}\cdot (x-3)\cdot (x+3)=\frac{x^2}{3}-3[/tex3]
[tex3]y_{ii}=-(x-3)\cdot (x+3)=-x^2+9[/tex3]
Um dos lados do retângulo será [tex3]b=2x[/tex3] e o outro será [tex3]h=-x^2+9 - \left(\frac{x^2}{3}-3\right)=-\frac{4x^2}{3}+12.[/tex3]
Desse modo, o perímetro do retângulo é dado por:
- [tex3]2p=2 \cdot \left[2x -\frac{4x^2}{3}+12\right]=-\frac{8}{3}\cdot x^2+4x+24[/tex3]
- [tex3]x=\frac{-4}{2\cdot \left(-\frac{8}{3}\right)}=\frac{3}{4}[/tex3]
- [tex3]b=2\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{2}[/tex3] e [tex3]h=-\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{3}{4})^2 +12 =\frac{45}{4}.[/tex3]
- [tex3]S=b\cdot h = \frac{3}{2}\cdot \frac{45}{4} =\frac{135}{8}=16,875.[/tex3]
Última edição: marco_sx (Seg 30 Jul, 2007 16:51). Total de 1 vez.
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