Ensino Médio ⇒ AREF - PA - Questão 4.97 Tópico resolvido

[samcinati09]

Seja a PA cujo termo geral é [tex3]a_n = 2n -1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_n = 2n -1[/tex3]

Calcule:
[tex3]\sum_{n=1}^{10} a_n^3[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{10} a_n^3[/tex3]

Resposta

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Gabarito: 19900

[ProfLaplace]

Opa, beleza?
Seja:
[tex3]S_1=1^3+3^3+5^3+...+17^3+19^3[/tex3]

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[tex3]S_1=1^3+3^3+5^3+...+17^3+19^3[/tex3]

[tex3]S_2=2^3+4^3+6^3+...+16^3+18^3[/tex3]

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[tex3]S_2=2^3+4^3+6^3+...+16^3+18^3[/tex3]

[tex3]S=1^3+2^3+3^3+...+17^3+18^3+19^3[/tex3]

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[tex3]S=1^3+2^3+3^3+...+17^3+18^3+19^3[/tex3]

O exercício pede [tex3]S_1[/tex3]

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[tex3]S_1[/tex3]

. Observe que [tex3]S_1=S-S_2[/tex3]

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[tex3]S_1=S-S_2[/tex3]

.

Para calcular [tex3]S[/tex3]

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[tex3]S[/tex3]

, basta usar a fórmula para a soma de [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

cubos.
Essa fórmula diz que [tex3]1^3+2^3+3^3+...+(n-1)^3+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2[/tex3]

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[tex3]1^3+2^3+3^3+...+(n-1)^3+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2[/tex3]

.
Caso queria a demonstração dessa fórmula, vc pode facilmente achá-la na internet.
Vários membros aqui do fórum já postaram sua dedução também.
Sendo assim,
[tex3]S=\left(\frac{19\cdot 20}{2}\right)^2=190^2[/tex3]

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[tex3]S=\left(\frac{19\cdot 20}{2}\right)^2=190^2[/tex3]

.
Vamos calcular [tex3]S_2[/tex3]

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[tex3]S_2[/tex3]

agora.
Colocando [tex3]2^3[/tex3]

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[tex3]2^3[/tex3]

em evidência, poderemos aplicar a fórmula acima novamente:
[tex3]S_2=2^3+4^3+6^3+...+16^3+18^3=2^3\cdot(1^3+2^3+3^3+...+8^3+9^3)=8\cdot\left(\frac{9\cdot 10}{2}\right)^2=8\cdot 45^2[/tex3]

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[tex3]S_2=2^3+4^3+6^3+...+16^3+18^3=2^3\cdot(1^3+2^3+3^3+...+8^3+9^3)=8\cdot\left(\frac{9\cdot 10}{2}\right)^2=8\cdot 45^2[/tex3]

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Para finalizar,
[tex3]S_1=S-S_2=190^2-8\cdot 45^2=19900[/tex3]

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[tex3]S_1=S-S_2=190^2-8\cdot 45^2=19900[/tex3]

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