Ensino Médio ⇒ Circunferência Tópico resolvido

[AngelitaB]

Dada figura, calcule X.

IMG-20240426-WA0006(1).jpg (35.2 KiB) Exibido 93 vezes

a)4
b)5
c)6
d)7
e)8

Resposta

---

c

[jvmago]

BASTA SABER QUE [tex3]Rr=r_1r_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Rr=r_1r_2[/tex3]

onde R e r sao sao circunferencias do quadrilatero

não é um problema simples mas vou mostrar o caminho!

Observe os triangulos de raio 2,x e 1 em seguida os triamgulos de raio 3,x, e note que pelo teorema das retas tangentes comuns

temos que a hipotenusa do triangulo retangulo de raio 1 é 3+2

Pelo teorema de Burlet
a área [tex3]S[/tex3]

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[tex3]S[/tex3]

menor é [tex3]S=r_1*r_2=2*3=6[/tex3]

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[tex3]S=r_1*r_2=2*3=6[/tex3]

note agora que a circunferencia maior é exinscrita relativa a hipotenusa então por teorema

[tex3]S=R*r=1*x[/tex3]

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[tex3]S=R*r=1*x[/tex3]

para demonstrar isso basta lembrar que [tex3]S^2=Rrr_ar_b[/tex3]

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[tex3]S^2=Rrr_ar_b[/tex3]

onde [tex3]r_ar_b[/tex3]

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[tex3]r_ar_b[/tex3]

sao os raios das circunferencias exinscritas aos catetos

dai
[tex3]S=(p-a)r_a[/tex3]

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[tex3]S=(p-a)r_a[/tex3]

[tex3]S=(p-b)r_b[/tex3]

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[tex3]S=(p-b)r_b[/tex3]

multiplicando e abrindo em heron

[tex3]p(p-c)=r_ar_b[/tex3]

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[tex3]p(p-c)=r_ar_b[/tex3]

como o triangulo é retangulo [tex3]p-c=r[/tex3]

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[tex3]p-c=r[/tex3]

[tex3]pr=r_ar_b=S[/tex3]

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[tex3]pr=r_ar_b=S[/tex3]

usando isso la em cima

[tex3]S^2=Rrr_ar_b[/tex3]

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[tex3]S^2=Rrr_ar_b[/tex3]

[tex3]S^2=RrS[/tex3]

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[tex3]S^2=RrS[/tex3]

[tex3]S=Rr[/tex3]

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[tex3]S=Rr[/tex3]

donde está provado

[tex3]PIMBADA[/tex3]

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[tex3]PIMBADA[/tex3]

[petras]

AngelitaB, jvmago,

Há uma saída simples

Os quatro triángulos retángulos circunscritos aos quatro círculos são semelhantes.
A razão de proporcionalidade entre eles é a mesma que a razão entre os raios dos correspondentes círculos inscritos.
Portanto se a hipotenusa do círculo pequeno(raio 1) for a, a de raio 2 é 2a e do raio 3 é 3a.
A hipotenusa do maior triángulo é a soma das outras três a+2a+3a=6a e portanto x=6.
(Solução:Luis Fuentes)