Olimpíadas ⇒ Polinômios Tópico resolvido

[Caduzin3445]

Considere o produtório P(n)= produtorio de k=0 até n(senk°+cosk°) e o polinômio f(x)= sum j=0 até 180 de p(j) × x^j. Qual é o grau de f(x)?

[erihh3]

Sabendo que [tex3]P(n)=\prod_{k=0}^n (\sen k\degree +\cos k\degree)[/tex3]

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[tex3]P(n)=\prod_{k=0}^n (\sen k\degree +\cos k\degree)[/tex3]

, então,

[tex3]P(n)=\prod_{k=0}^n \sqrt2(\frac{1}{\sqrt2}\sen k\degree +\frac{1}{\sqrt2}\cos k\degree)[/tex3]

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[tex3]P(n)=\prod_{k=0}^n \sqrt2(\frac{1}{\sqrt2}\sen k\degree +\frac{1}{\sqrt2}\cos k\degree)[/tex3]

[tex3]P(n)=\prod_{k=0}^n \sqrt2\sen (k\degree +45)[/tex3]

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[tex3]P(n)=\prod_{k=0}^n \sqrt2\sen (k\degree +45)[/tex3]

[tex3]P(n)=2^\frac{n}{2}\prod_{k=0}^n sen (k\degree +45)[/tex3]

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[tex3]P(n)=2^\frac{n}{2}\prod_{k=0}^n sen (k\degree +45)[/tex3]

Com essa forma mais simplificada de exposição, vamos substituir na expressão de [tex3]F(x)[/tex3]

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[tex3]F(x)[/tex3]

.

[tex3]F(x)=\sum_{j=0}^{180}P(j)\cdot x^j[/tex3]

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[tex3]F(x)=\sum_{j=0}^{180}P(j)\cdot x^j[/tex3]

[tex3]F(x)=\sum_{j=0}^{180}\[\(2^\frac{j}{2}\prod_{k=0}^j sen (k\degree +45)\)\cdot x^j\][/tex3]

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[tex3]F(x)=\sum_{j=0}^{180}\[\(2^\frac{j}{2}\prod_{k=0}^j sen (k\degree +45)\)\cdot x^j\][/tex3]

[tex3]F(x)=\sum_{j=0}^{180}\[\(\prod_{k=0}^j sen (k\degree +45)\)\cdot x^j\cdot2^\frac{j}{2}\][/tex3]

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[tex3]F(x)=\sum_{j=0}^{180}\[\(\prod_{k=0}^j sen (k\degree +45)\)\cdot x^j\cdot2^\frac{j}{2}\][/tex3]

Precisamos nos atentar, agora, para os casos em que o produtório resulta em [tex3]0[/tex3]

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[tex3]0[/tex3]

.

Para o range de [tex3]j[/tex3]

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[tex3]j[/tex3]

de [tex3]0[/tex3]

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[tex3]0[/tex3]

a [tex3]180[/tex3]

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[tex3]180[/tex3]

, isso ocorre apenas quando [tex3]\sen 180\degree[/tex3]

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[tex3]\sen 180\degree[/tex3]

.

A função em análise é [tex3]\sen (k\degree +45)[/tex3]

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[tex3]\sen (k\degree +45)[/tex3]

. Ou seja, quando [tex3]k=135[/tex3]

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[tex3]k=135[/tex3]

, todos os elementos posteriores do produtório também serão nulos. Portanto, pode-se dizer que [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

varia de forma não nula até [tex3]k=134[/tex3]

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[tex3]k=134[/tex3]

.

Daí,

[tex3]F(x)= \[\( sen (45)\)\cdot 1\cdot1\]+\[\( sen (45)\)\cdot\( sen (46)\) x\cdot2^\frac{1}{2}\] +...+\[\( sen (45)\)\cdot ...\cdot \( sen (179)\) x^{134}\cdot2^\frac{134}{2}\]+\underset{0}{\underbrace{\[\( sen (45)\)\cdot ...\cdot \( sen (180)\) x^{134}\cdot2^\frac{134}{2}\]}}+\underset{0}{\underbrace{\sum_{j=136}^{180}\[\(\prod_{k=0}^j sen (k\degree +45)\)\cdot x^j\cdot2^\frac{j}{2}\]}}[/tex3]

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[tex3]F(x)= \[\( sen (45)\)\cdot 1\cdot1\]+\[\( sen (45)\)\cdot\( sen (46)\) x\cdot2^\frac{1}{2}\] +...+\[\( sen (45)\)\cdot ...\cdot \( sen (179)\) x^{134}\cdot2^\frac{134}{2}\]+\underset{0}{\underbrace{\[\( sen (45)\)\cdot ...\cdot \( sen (180)\) x^{134}\cdot2^\frac{134}{2}\]}}+\underset{0}{\underbrace{\sum_{j=136}^{180}\[\(\prod_{k=0}^j sen (k\degree +45)\)\cdot x^j\cdot2^\frac{j}{2}\]}}[/tex3]

Como j varia apenas até 134, pode-se dizer que o polinômio é de grau 134.