Física I ⇒ (SOIF 2016) Estática Tópico resolvido

[παθμ]

Três cilindros idênticos com seus eixos paralelos estão sobre uma superfície áspera, sendo dois cilindros ficando na parte de baixo e o terceiro apoiado sobre os dois cilindros, vide figura abaixo. Determine o ângulo mínimo que a direção da força agindo entre a superfície e o cilindro faz com o eixo vertical.

d93f748c-818c-452f-af4e-27ecf3f500ec.jpg (9.11 KiB) Exibido 64 vezes

[παθμ]

Solução:


Diagrama de forças para o cilindro de cima (f é a força de atrito, N2 é a normal):

30c4997e-fa3f-4125-8293-662c8652e1a7.jpg (12.51 KiB) Exibido 63 vezes

O ângulo que [tex3]N_2[/tex3]

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[tex3]N_2[/tex3]

faz com a vertical é [tex3]30 \degree,[/tex3]

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[tex3]30 \degree,[/tex3]

e o que [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

faz é [tex3]60 \degree.[/tex3]

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[tex3]60 \degree.[/tex3]

Equilíbrio na vertical: [tex3]mg=2N_2 \cos(30 \degree) + 2f \cos(60 \degree) \Longrightarrow \sqrt{3} N_2+f=mg.[/tex3]

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[tex3]mg=2N_2 \cos(30 \degree) + 2f \cos(60 \degree) \Longrightarrow \sqrt{3} N_2+f=mg.[/tex3]

Diagrama de forças para um cilindro de baixo (o da esquerda, por exemplo) (N1 é a normal com o chão, N3 é a normal entre os dois cilindros de baixo):

4b996efc-1f69-400a-810e-cc61225b1897.jpg (15.52 KiB) Exibido 63 vezes

Note que a força de atrito no chão deve ser [tex3]f,[/tex3]

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[tex3]f,[/tex3]

para garantir o equilíbrio rotacional.


Equilíbrio na vertical: [tex3]N_1=mg+N_2 \cos(30 \degree)+f \cos(60 \degree) \Longrightarrow N_1=\frac{3mg}{2}.[/tex3]

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[tex3]N_1=mg+N_2 \cos(30 \degree)+f \cos(60 \degree) \Longrightarrow N_1=\frac{3mg}{2}.[/tex3]

Equilíbrio na horizontal: [tex3]f+f \sin(60 \degree)=N_2 \sin(30 \degree)+N_3 \Longrightarrow \frac{(2+\sqrt{3})f}{2}=\frac{N_2}{2}+N_3.[/tex3]

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[tex3]f+f \sin(60 \degree)=N_2 \sin(30 \degree)+N_3 \Longrightarrow \frac{(2+\sqrt{3})f}{2}=\frac{N_2}{2}+N_3.[/tex3]

Usando [tex3]N_2=\frac{mg-f}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(mg-f)}{3}:[/tex3]

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[tex3]N_2=\frac{mg-f}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(mg-f)}{3}:[/tex3]

[tex3]f+\frac{\sqrt{3}f}{2}=\frac{\sqrt{3}mg}{6}-\frac{\sqrt{3}f}{6}+N_3 \Longrightarrow \frac{(3+2\sqrt{3})f}{3}=\frac{\sqrt{3}mg}{6}+N_3.[/tex3]

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[tex3]f+\frac{\sqrt{3}f}{2}=\frac{\sqrt{3}mg}{6}-\frac{\sqrt{3}f}{6}+N_3 \Longrightarrow \frac{(3+2\sqrt{3})f}{3}=\frac{\sqrt{3}mg}{6}+N_3.[/tex3]

Para minimizar o ângulo que a força com o chão faz com a vertical, queremos minimizar [tex3]f,[/tex3]

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[tex3]f,[/tex3]

e isso é atingido com [tex3]N_3=0,[/tex3]

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[tex3]N_3=0,[/tex3]

então:

[tex3]f=\frac{\sqrt{3}mg}{2(3+2\sqrt{3})}=\frac{(2-\sqrt{3})mg}{2}.[/tex3]

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[tex3]f=\frac{\sqrt{3}mg}{2(3+2\sqrt{3})}=\frac{(2-\sqrt{3})mg}{2}.[/tex3]

[tex3]\tan(\theta)=\frac{f}{N_1}=\frac{2-\sqrt{3}}{3} \Longrightarrow \boxed{\theta= \arctan\left(\frac{2-\sqrt{3}}{3}\right)}[/tex3]

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[tex3]\tan(\theta)=\frac{f}{N_1}=\frac{2-\sqrt{3}}{3} \Longrightarrow \boxed{\theta= \arctan\left(\frac{2-\sqrt{3}}{3}\right)}[/tex3]

Obs: Essa questão foi extraída do livro "University of Chicago Graduate Problems in Physics"