IME/ITA ⇒ conservação entropia

[ASPIRANTE23]

Um compartimento com um certo gás monoatômico na pressão P, volume V e temperatura T é separado de um segundo compartimento com outro gás, também monoatômico, na pressão 2P, volume 2V, e na temperatura 2T. Considerando entropia constante, calcule a temperatura final do sistema. [tex3]\sqrt[9]{729/2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt[9]{729/2}[/tex3]

= 1,926

Resposta

---

1,038𝑇

Se alguém puder ajudar...

[LeoJaques]

A questão provavelmente vai utilizar que:

[tex3] dS = \dfrac{dq}{T} = \dfrac{dU + W}{T} = \dfrac{nc_v(dT) + Pd V}{T} = \dfrac{nc_v(dT) +\dfrac{nRT}{V}d V}{T} \Rightarrow \Delta S = nc_vln(\dfrac{T_f}{T_i}) + nRln(\dfrac{V_f}{V_i})[/tex3]

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[tex3] dS = \dfrac{dq}{T} = \dfrac{dU + W}{T} = \dfrac{nc_v(dT) + Pd V}{T} = \dfrac{nc_v(dT) +\dfrac{nRT}{V}d V}{T} \Rightarrow \Delta S = nc_vln(\dfrac{T_f}{T_i}) + nRln(\dfrac{V_f}{V_i})[/tex3]

Mas não entendi muito bem como ocorre essa separação de gases com condições diferentes, se alguém souber, por favor ajude-nos.

[FelipeMartin]

O enunciado está incompleto. O que acontece? Os compartimentos se abrem e os gases se expandem até atingirem o mesmo volume final de 3V?

Resposta

---

A expansão do gás é um processo irreversível. Devemos imaginar então um caminho reversível que chegue no estado final a partir do inicial e calcular a variação de entropia do sistema. Depois impomos que essa variação deve ser zero. Talvez possamos imaginar uma expansão adiabática então. Dessa maneira a entropia não se alteraria.

[tex3]dQ = dU + dW = 0[/tex3]

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[tex3]dQ = dU + dW = 0[/tex3]

Agora, precisamos escolher bem quem é o sistema e entender exatamente qual é o trabalho realizado sobre ele.

Eu acho que se tomarmos como sistema os dois gases, o trabalho total realizado sobre ele é zero. De forma que a energia interna total dos gases não se alteraria: o que um gás ganha de energia interna, o outro perde. Será que sai assim?

[tex3]0 = dU_1 + dU_2 = \frac32 n_1R dT_1 + \frac 32 n_2R dT_2 \iff dT_1 = -2dT_2 [/tex3]

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[tex3]0 = dU_1 + dU_2 = \frac32 n_1R dT_1 + \frac 32 n_2R dT_2 \iff dT_1 = -2dT_2 [/tex3]

[tex3]T_f-T = -2(T_f-2T) \iff 3T_f = 5T \iff T_f = \frac53 T[/tex3]

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[tex3]T_f-T = -2(T_f-2T) \iff 3T_f = 5T \iff T_f = \frac53 T[/tex3]

Talvez não. O que eu fiz talvez só servisse para calcular a variação de entropia. Como impor que a entropia não mude durante um processo irreversível?

[FelipeMartin]

LeoJaques, que tal [tex3]\Delta S_1 = \frac32 n_1R \ln (\frac{T_f}{T_i}) +n_1R \ln (\frac{V_f}{V_i})[/tex3]

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[tex3]\Delta S_1 = \frac32 n_1R \ln (\frac{T_f}{T_i}) +n_1R \ln (\frac{V_f}{V_i})[/tex3]

Dai [tex3]\Delta S_1 = \frac32 n_1R \ln (\frac{T_f}{T}) +n_1R \ln (\frac{3V}{V})[/tex3]

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[tex3]\Delta S_1 = \frac32 n_1R \ln (\frac{T_f}{T}) +n_1R \ln (\frac{3V}{V})[/tex3]

E [tex3]\Delta S_2 = \frac32 n_2R \ln (\frac{T_f}{T_i}) +n_2R \ln (\frac{V_f}{V_i}) = -\Delta S_1[/tex3]

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[tex3]\Delta S_2 = \frac32 n_2R \ln (\frac{T_f}{T_i}) +n_2R \ln (\frac{V_f}{V_i}) = -\Delta S_1[/tex3]

Donde:

[tex3]n_2(\frac32 \ln (\frac{T_f}{2T}) + \ln(\frac32)) = -n_1(\frac32 \ln(\frac{T_f}{T} + \ln (\frac32)))[/tex3]

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[tex3]n_2(\frac32 \ln (\frac{T_f}{2T}) + \ln(\frac32)) = -n_1(\frac32 \ln(\frac{T_f}{T} + \ln (\frac32)))[/tex3]

e [tex3]n_2=2n_1[/tex3]

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[tex3]n_2=2n_1[/tex3]

[tex3]3 \ln \frac{T_f}{T} - 3 \ln2 + 2\ln 3 - 2 \ln 2 = - \frac32 \ln \frac{T_f}{T} - \ln 3 [/tex3]

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[tex3]3 \ln \frac{T_f}{T} - 3 \ln2 + 2\ln 3 - 2 \ln 2 = - \frac32 \ln \frac{T_f}{T} - \ln 3 [/tex3]

[tex3]\frac92 \ln \frac{T_f}{T} = 5 \ln 2 - 3 \ln 3 \iff (\frac{T_f}{T})^{9} = \frac{2^{9} \cdot 2}{3^{6}} \implies[/tex3]

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[tex3]\frac92 \ln \frac{T_f}{T} = 5 \ln 2 - 3 \ln 3 \iff (\frac{T_f}{T})^{9} = \frac{2^{9} \cdot 2}{3^{6}} \implies[/tex3]

[tex3]\implies \frac{T_f}{T} = \frac{2}{\sqrt[9]{\frac{729}2}} = \frac2{1.926} \implies T_f \approx 1.0384216 T[/tex3]

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[tex3]\implies \frac{T_f}{T} = \frac{2}{\sqrt[9]{\frac{729}2}} = \frac2{1.926} \implies T_f \approx 1.0384216 T[/tex3]

difícil hein.