Sejam n e r números inteiros positivos em que 1<= r <= n-1 prove que:
C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)
Ensino Superior ⇒ Análise Combinatória
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2024
11
23:02
Re: Análise Combinatória
[tex3]C^{r-1}_{n-1}=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}[/tex3]
[tex3]C^{r}_{n-1}=\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}[/tex3]
Somando as duas expressões, temos:
[tex3]C^{r-1}_{n-1}+C^{r}_{n-1}=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}+\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)(n-r-1)!}+\frac{(n-1)!}{r(r-1)!(n-r-1)!}[/tex3]
Agora, vamos encontrar um denominador comum:
[tex3]C^{r-1}_{n-1}+C^{r}_{n-1}=\frac{r(n-1)!+(n-r)(n-1)!}{r(r-1)!(n-r)(n-r-1)!}=\frac{(n-1)!(\cancel r+n-\cancel r)}{r!(n-r)!}=\frac{(n-1)!n}{r!(n-r)!}=\frac{n!}{r!(n-r!)}=C^r_n[/tex3]
[tex3]C^{r}_{n-1}=\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}[/tex3]
Somando as duas expressões, temos:
[tex3]C^{r-1}_{n-1}+C^{r}_{n-1}=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}+\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)(n-r-1)!}+\frac{(n-1)!}{r(r-1)!(n-r-1)!}[/tex3]
Agora, vamos encontrar um denominador comum:
[tex3]C^{r-1}_{n-1}+C^{r}_{n-1}=\frac{r(n-1)!+(n-r)(n-1)!}{r(r-1)!(n-r)(n-r-1)!}=\frac{(n-1)!(\cancel r+n-\cancel r)}{r!(n-r)!}=\frac{(n-1)!n}{r!(n-r)!}=\frac{n!}{r!(n-r!)}=C^r_n[/tex3]
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 1 Respostas
- 451 Exibições
-
Última mensagem por ttbr96
-
- 1 Respostas
- 2883 Exibições
-
Última mensagem por paulo testoni
-
- 9 Respostas
- 1142 Exibições
-
Última mensagem por paulo testoni
-
- 2 Respostas
- 839 Exibições
-
Última mensagem por TarekVilela
-
- 2 Respostas
- 3540 Exibições
-
Última mensagem por Benji