Ensino Médio ⇒ trigonometria Tópico resolvido

[gabrielmacc]

08) Solucione a equação
√1 − 𝑥 = 2𝑥² − 1 + 2𝑥√1 − 𝑥²

substitui por cosx, e coloquei [0;180] mas na hora das soluções errei em algum lugar

Resposta

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08) 𝑥 = cos 54°

[petras]

gabrielmacc,

Poste sua resolução

[gabrielmacc]

fiz a troca pra senx e n saiu e os intervalos tbm

[petras]

gabrielmacc,

[tex3]x = cos \alpha \\
-1 \leq cos \alpha \leq 1 \implies \alpha \in [0, \pi]\\
\sqrt{1-\cos\alpha}=\underbrace{2\cos^2\alpha-1}_{cos2\alpha}+2\cos\alpha \underbrace{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}_{sen\alpha}\\
cos2\alpha =1-2sen^2\alpha \implies 1- cos2\alpha = 2sen^2\alpha \therefore 1-cos\alpha = 2sen^2\frac{\alpha}{2}\\
Substituindo: \sqrt{2\sen^2\frac{\alpha}{2}}=\cos2\alpha+2\cos\alpha\sen\alpha\\
\sqrt2\sen\frac{\alpha}{2}=\cos2\alpha+\sen2\alpha \implies
\sen\frac{\alpha}{2}=\sen\left(\frac{\pi}{4}+2\alpha\right) \implies \frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{4}+2\alpha+2\pi k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = cos \alpha \\
-1 \leq cos \alpha \leq 1 \implies \alpha \in [0, \pi]\\
\sqrt{1-\cos\alpha}=\underbrace{2\cos^2\alpha-1}_{cos2\alpha}+2\cos\alpha \underbrace{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}_{sen\alpha}\\
cos2\alpha =1-2sen^2\alpha \implies 1- cos2\alpha = 2sen^2\alpha \therefore 1-cos\alpha = 2sen^2\frac{\alpha}{2}\\
Substituindo: \sqrt{2\sen^2\frac{\alpha}{2}}=\cos2\alpha+2\cos\alpha\sen\alpha\\
\sqrt2\sen\frac{\alpha}{2}=\cos2\alpha+\sen2\alpha \implies
\sen\frac{\alpha}{2}=\sen\left(\frac{\pi}{4}+2\alpha\right) \implies \frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{4}+2\alpha+2\pi k[/tex3]

Não existe K(inteiro)que satisfaça a equação no intervalo [0,π]:
[tex3]k=0: \frac{\alpha}{2}=\frac{π}{4}+2\alpha⟹α=−\frac{π}{6} < 0\\
k=−1: \frac{\alpha}{2}=\frac{π}{4}+2\alpha−2\pi⟹\alpha=\frac{7\pi}{6} > \pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k=0: \frac{\alpha}{2}=\frac{π}{4}+2\alpha⟹α=−\frac{π}{6} < 0\\
k=−1: \frac{\alpha}{2}=\frac{π}{4}+2\alpha−2\pi⟹\alpha=\frac{7\pi}{6} > \pi[/tex3]

Para qualquer outro valor de k (inteiro) te dará valores menores ou maiores que os anteriores

[tex3]\frac{\alpha}{2}=\pi-\left(\frac{\pi}{4}+2\alpha\right)+2\pi k(k \in \mathbb{Z})\\
k=0 \implies \frac{5\alpha}{2}=\frac{3\pi}{4}\\\ \therefore \alpha=\frac{3\pi}{10} \implies \boxed{cos \alpha =54^0} \vee sen\alpha = 36^o \\
k=1 \implies \frac{5\alpha}{2}=\frac{11\pi}{4}\\
\therefore \alpha = \frac{11\pi}{10} > \pi\\
k=-1 \implies \frac{5\alpha}{2}=-\frac{5\pi}{4}\\
\therefore \alpha = -\frac{\pi}{2} <0\\
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\alpha}{2}=\pi-\left(\frac{\pi}{4}+2\alpha\right)+2\pi k(k \in \mathbb{Z})\\
k=0 \implies \frac{5\alpha}{2}=\frac{3\pi}{4}\\\ \therefore \alpha=\frac{3\pi}{10} \implies \boxed{cos \alpha =54^0} \vee sen\alpha = 36^o \\
k=1 \implies \frac{5\alpha}{2}=\frac{11\pi}{4}\\
\therefore \alpha = \frac{11\pi}{10} > \pi\\
k=-1 \implies \frac{5\alpha}{2}=-\frac{5\pi}{4}\\
\therefore \alpha = -\frac{\pi}{2} <0\\
[/tex3]

Portanto apenas k = 0 é solução

(Solução:MichaelRozembreg-adaptada)