Física I ⇒ (UFPI - 2023) Oscilações Tópico resolvido

[quantumboy]

O pêndulo cônico consiste de uma partícula de massa m que gira em movimento circular
uniforme, descrevendo um círculo de raio r, suspensa por um fio de comprimento L preso a um
ponto fixo, de forma que o fio descreve a superfície de um cone de ângulo de abertura θ, como
mostra a figura.

figura segue em anexo

Mostre que o período associado ao movimento do pêndulo é dado por 𝜏 = 2𝜋√𝐿 cos𝜃/𝑔, onde g é
a aceleração da gravidade no local do pêndulo.

[παθμ]

quantumboy,

13c2bccf-9694-4690-b969-8dc590eab4b9.jpg (20.68 KiB) Exibido 239 vezes

As duas forças que agem na passa são o peso e a tração, e [tex3]r=L \sin(\theta)[/tex3]

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[tex3]r=L \sin(\theta)[/tex3]

é o raio da trajetória.

Se a massa permanece no mesmo plano horizontal, ela não tem aceleração vertical, então pelo equilíbrio de forças na vertical:

[tex3]T \sin(90 \degree - \theta)=mg \Longrightarrow T=\frac{mg}{\cos(\theta)}.[/tex3]

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[tex3]T \sin(90 \degree - \theta)=mg \Longrightarrow T=\frac{mg}{\cos(\theta)}.[/tex3]

A força resultante no plano horizontal é [tex3]T \cos(90 \degree - \theta) = T \sin(\theta),[/tex3]

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[tex3]T \cos(90 \degree - \theta) = T \sin(\theta),[/tex3]

e essa é a resultante centrípeta do movimento circular.

[tex3]T \sin(\theta) = m \omega^2 r \Longrightarrow mg \tan (\theta) = m \omega ^2 L \sin(\theta) \Longrightarrow \omega^2 = \frac{g}{L \cos(\theta)}.[/tex3]

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[tex3]T \sin(\theta) = m \omega^2 r \Longrightarrow mg \tan (\theta) = m \omega ^2 L \sin(\theta) \Longrightarrow \omega^2 = \frac{g}{L \cos(\theta)}.[/tex3]

[tex3]T=\frac{2\pi}{\omega}=\boxed{2\pi \sqrt{\frac{L \cos(\theta)}{g}}}[/tex3]

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[tex3]T=\frac{2\pi}{\omega}=\boxed{2\pi \sqrt{\frac{L \cos(\theta)}{g}}}[/tex3]