Ensino Superior ⇒ Teoria dos Números Tópico resolvido

[Idocrase]

Sejam a,b e c números inteiros. Prove que, se [tex3]\text{mdc}(a,b)=1[/tex3], [tex3]a\mid c[/tex3] e [tex3]b\mid c[/tex3], então [tex3]ab\mid c[/tex3].

Não faço ideia de como resolver.

[Loreto]

Olá,

Se o mdc(a,b) = 1 , então a e b são primos entre si. Ou seja, a não pode ser escrito como um múltiplo de b e vice-verso.

Por hipótese,

c = a.k + r1; k € Z
c = b.k + r2; k € Z

Logo, c= ab.k + r; k€Z (+)
Como a e b são primos entre si, e por (+) podemos concluir que ab | c

[leozitz]

c = a.k + r1; k € Z
c = b.k + r2; k € Z

aqui o k é diferente né?
além disso os r ali eram pra ser 0

c= ab.k + r; k€Z (+)

n sei como vc chegou nisso a partir da linha de cima
teorema de bezout diz que existem k e l inteiros de forma que
[tex3]ak+bl=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ak+bl=1[/tex3]

dai
[tex3]ack + bcl = c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ack + bcl = c[/tex3]

mas por hipótese [tex3]bu = c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]bu = c[/tex3]

e [tex3]av = c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]av = c[/tex3]

[tex3]abuk + bavl =c\\
ab(uk+vl) = c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]abuk + bavl =c\\
ab(uk+vl) = c[/tex3]

ou seja ab divide c, outra forma de ver isso é olhar para a fatoração em primos de c, como a e b são primos entre si eles n tem o mesmo primo na fatoração

[Loreto]

Loreto escreveu: ↑Ter 23 Jan, 2024 03:22
c = a.k + r1; k € Z
c = b.k + r2; k € Z

Os k são diferentes sim. Eles não possuem o mesmo primo. Obrigado.

c = a.k1 + r1
c = b.k2 + r2

então podemos dizer que c é um multiplo de a e b. Ou seja, c = ab.(k1+k2) + r
Portanto,
ab | c