Ensino Superior ⇒ L'HOPITAL

[Light89]

Boa noite, estou tentando resolver a questão abaixo, mas está um pouco difícil poderiam me ajudar?

Resolver o limite utilizando l'hopital

Lim xln([tex3]x^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}[/tex3]

+ 2x)
x[tex3]\rightarrow 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow 0[/tex3]

[παθμ]

Light89,

[tex3]x\ln(x^2+2x)=\frac{\ln(x^2+2x)}{x^{-1}}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\ln(x^2+2x)=\frac{\ln(x^2+2x)}{x^{-1}}.[/tex3]

Quando [tex3]x \rightarrow 0,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x \rightarrow 0,[/tex3]

temos que os módulos tanto do termo de cima quanto do de baixo vão pra infinito. Quando é [tex3]\frac{\infty}{\infty},[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\infty}{\infty},[/tex3]

o limite é impróprio e podemos usar a regra de L'Hospital.

[tex3]L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\text{d}/\text{d}x [\ln(x^2+2x)]}{\text{d}/\text{d}x [x^{-1}]}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\text{d}/\text{d}x [\ln(x^2+2x)]}{\text{d}/\text{d}x [x^{-1}]}.[/tex3]

[tex3]\frac{\text{d}}{\text{d}x}\ln(x^2+2x)=\frac{1}{x^2+2x}\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2+2x)=\frac{2(x+1)}{x(x+2)}, \; \; \; \frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^{-1})=-\frac{1}{x^2}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\text{d}}{\text{d}x}\ln(x^2+2x)=\frac{1}{x^2+2x}\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2+2x)=\frac{2(x+1)}{x(x+2)}, \; \; \; \frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^{-1})=-\frac{1}{x^2}.[/tex3]

Então [tex3]L=\lim_{x\rightarrow 0}\left(-\frac{2x(x+1)}{x+2}\right).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\lim_{x\rightarrow 0}\left(-\frac{2x(x+1)}{x+2}\right).[/tex3]

Quando [tex3]x=0,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=0,[/tex3]

ficamos com [tex3]-\frac{0}{2},[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\frac{0}{2},[/tex3]

ou seja, o limite pedido é [tex3]\boxed{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{0}[/tex3]