Ensino Médio ⇒ 05 razão entre áreas de polígonos regulares

[Analisesousp]

Seja um triângulo equilátero de área t, inscrito em um hexágono regular de área h, ambos inscritos em um círculo de raio r. a razão h/t igual a:

Gabarito: 2

Adaptado de ibam 2023

[petras]

Analisesousp,



Hexágono inscrito: lado = raio = r
[tex3]\triangle EDC: l_\triangle^2=r^2+r^2-2r^2cos120^o \implies l_\triangle ^2 =3r^2 \therefore l_\triangle = r\sqrt3 \\
\therefore S\triangle = \frac{l_\triangle^2\sqrt3}{4} = \frac{3r^2\sqrt3}{4}=t\\
S_{Hex} = 6.\frac{l^2\sqrt3}{4}=\frac{3r^2\sqrt3}{2}=h\\
\frac{h}{t} = \frac{3r^2\sqrt3}{2} . \frac{4}{3r^2\sqrt3}=\boxed{2}


[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle EDC: l_\triangle^2=r^2+r^2-2r^2cos120^o \implies l_\triangle ^2 =3r^2 \therefore l_\triangle = r\sqrt3 \\
\therefore S\triangle = \frac{l_\triangle^2\sqrt3}{4} = \frac{3r^2\sqrt3}{4}=t\\
S_{Hex} = 6.\frac{l^2\sqrt3}{4}=\frac{3r^2\sqrt3}{2}=h\\
\frac{h}{t} = \frac{3r^2\sqrt3}{2} . \frac{4}{3r^2\sqrt3}=\boxed{2}


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