Admita que, para todo [tex3](x,y)[/tex3],
[tex3]4y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-x\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2[/tex3]
Calcule [tex3]g'(t)[/tex3], sendo [tex3]g(t)=(2cos(t),sen(t))[/tex3]
Eu tentei fazer usando a regra da cadeia.
[tex3]g'(t)=\bigtriangledown f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)[/tex3]
, sendo [tex3]\gamma(t)=(2cos(t),sen(t))[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Cálculo 3 Tópico resolvido
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joaopcarv
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Nov 2023
15
23:26
Re: Cálculo 3
Boa noite. Eu conversei com amigos da faculdade e eles concordaram com a resposta, mesmo que não tenhamos o gabarito.
Seja [tex3]\mathsf{\gamma(t) \ = \ \(2\cdot\cos(t), \ \sin(t)\)}[/tex3] a curva parametrizada por [tex3]\mathsf{t}[/tex3] para a qual calcularemos a derivada total da função [tex3]\mathsf{f(x,y)}[/tex3] .
A derivada total é um valor escalar dado pela relação que você sugeriu no enunciado:
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{d}{dt} \ f(x,y) \ = \ \nabla f(x,y) \cdot \gamma'(t)}}}[/tex3] , em que o par [tex3]\mathsf{(x,y)}[/tex3] é parametrizado pela curva [tex3]\mathsf{\gamma(t): \ \boxed{\mathsf{\gamma(t) \ = \ \Big(x(t), y(t)\Big)}}}.[/tex3]
Neste caso, sendo a curva [tex3]\mathsf{\gamma(t) \ = \ \(2\cdot\cos(t), \ \sin(t)\)}[/tex3] :
[tex3]\mathsf{x(t) \ = \ 2\cdot\cos(t) \ \therefore \ \boxed{\mathsf{\dot{x}(t) \ = \ -2 \cdot \sin(t)}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{y(t) \ = \ \sin(t) \ \therefore \ \boxed{\mathsf{\dot{y}(t) \ = \ \cos(t)}}}[/tex3]
Para a curva direcional:
[tex3]\mathsf{\gamma'(t) \ = \ \big(\dot{x}(t), \dot{y}(t)\big):}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\gamma'(t) \ = \ \big(-2 \cdot \sin(t), \cos(t)\big)}[/tex3]
E o gradiente da função [tex3]\mathsf{f(x,y)}[/tex3] é [tex3]\mathsf{\nabla f(x,y) \ = \bigg(\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}\bigg)}[/tex3] .
Aplicando a fórmula:
[tex3]\mathsf{\dfrac{d}{dt} f(x, y) \ = \ \big(-2 \cdot \sin(t), \cos(t)\big) \ \cdot \ \bigg(\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}\bigg)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{d}{dt} f(x, y) \ = \ -2 \cdot \underbrace{sin(t)}_{= \ y(t)} \cdot \dfrac{\partial f}{\partial x} \ + \ \underbrace{cos(t)}_{= \ \frac{x(t)}{2}} \cdot \dfrac{\partial f}{\partial y}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{d}{dt} f(x, y) \ = \ -2 \cdot y \cdot \dfrac{\partial f}{\partial x} \ + \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{\partial f}{\partial y}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{d}{dt} f(x, y) \ = \ \dfrac{1}{2} \cdot \underbrace{\Bigg(-4 \cdot y \cdot \dfrac{\partial f}{\partial x} \ + x \cdot \dfrac{\partial f}{\partial y}\Bigg)}_{= \ -2, \ do \ enunciado}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{{\dfrac{d}{dt} f(x, y) \ = \ -1}}}}[/tex3]
Resolução por escrito:
(OBS: Aqui eu acabei usando a notação [tex3]\mathsf{g'(t)}[/tex3] sendo que era para ser [tex3]\mathsf{f'(t)}[/tex3] para manter a consistência...)
Seja [tex3]\mathsf{\gamma(t) \ = \ \(2\cdot\cos(t), \ \sin(t)\)}[/tex3] a curva parametrizada por [tex3]\mathsf{t}[/tex3] para a qual calcularemos a derivada total da função [tex3]\mathsf{f(x,y)}[/tex3] .
A derivada total é um valor escalar dado pela relação que você sugeriu no enunciado:
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{d}{dt} \ f(x,y) \ = \ \nabla f(x,y) \cdot \gamma'(t)}}}[/tex3] , em que o par [tex3]\mathsf{(x,y)}[/tex3] é parametrizado pela curva [tex3]\mathsf{\gamma(t): \ \boxed{\mathsf{\gamma(t) \ = \ \Big(x(t), y(t)\Big)}}}.[/tex3]
Neste caso, sendo a curva [tex3]\mathsf{\gamma(t) \ = \ \(2\cdot\cos(t), \ \sin(t)\)}[/tex3] :
[tex3]\mathsf{x(t) \ = \ 2\cdot\cos(t) \ \therefore \ \boxed{\mathsf{\dot{x}(t) \ = \ -2 \cdot \sin(t)}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{y(t) \ = \ \sin(t) \ \therefore \ \boxed{\mathsf{\dot{y}(t) \ = \ \cos(t)}}}[/tex3]
Para a curva direcional:
[tex3]\mathsf{\gamma'(t) \ = \ \big(\dot{x}(t), \dot{y}(t)\big):}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\gamma'(t) \ = \ \big(-2 \cdot \sin(t), \cos(t)\big)}[/tex3]
E o gradiente da função [tex3]\mathsf{f(x,y)}[/tex3] é [tex3]\mathsf{\nabla f(x,y) \ = \bigg(\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}\bigg)}[/tex3] .
Aplicando a fórmula:
[tex3]\mathsf{\dfrac{d}{dt} f(x, y) \ = \ \big(-2 \cdot \sin(t), \cos(t)\big) \ \cdot \ \bigg(\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}\bigg)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{d}{dt} f(x, y) \ = \ -2 \cdot \underbrace{sin(t)}_{= \ y(t)} \cdot \dfrac{\partial f}{\partial x} \ + \ \underbrace{cos(t)}_{= \ \frac{x(t)}{2}} \cdot \dfrac{\partial f}{\partial y}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{d}{dt} f(x, y) \ = \ -2 \cdot y \cdot \dfrac{\partial f}{\partial x} \ + \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{\partial f}{\partial y}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{d}{dt} f(x, y) \ = \ \dfrac{1}{2} \cdot \underbrace{\Bigg(-4 \cdot y \cdot \dfrac{\partial f}{\partial x} \ + x \cdot \dfrac{\partial f}{\partial y}\Bigg)}_{= \ -2, \ do \ enunciado}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{{\dfrac{d}{dt} f(x, y) \ = \ -1}}}}[/tex3]
Resolução por escrito:
(OBS: Aqui eu acabei usando a notação [tex3]\mathsf{g'(t)}[/tex3] sendo que era para ser [tex3]\mathsf{f'(t)}[/tex3] para manter a consistência...)
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That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
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