Boa noite, pessoal. Estou com uma dúvida mais relacionada a definição de integral. Ao resolver a seguinte integral por substituição:
[tex3]\int_{}\frac{x}{\sqrt{5-4\(x^2\)}}dx[/tex3]
Eu obtive o tipo de função G(x):
[tex3]G(x)=\frac{-\sqrt{5-4\(x^2\)}}{4}+c[/tex3]
Entretanto essa primitiva não é derivável. Pois para [tex3]x=\frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3]
ou [tex3]x=-\frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3]
ela não é derivável. E de acordo com a definição de integração, integrar uma função é achar uma função derivável cuja função derivada seja a função integrando. A função derivada de G(x) é a função integrando dessa integral, entretanto, G(x) não atende a outra restrição de ser derivável em todo seu domínio. Aí fiquei na dúvida se eu teria que, na resposta, restringir o domínio dessa função encontrada para que x não assuma esses dois valores, e, aí sim, G(x) ser uma primitiva. Fiquei com essa dúvida, principalmente, pois perguntei para a minha professora de cálculo se a função F(x) definida como: [tex3]F(x)=ln|x|+ c[/tex3]
para x diferente de 0 e como: [tex3]F(x)=2[/tex3]
para x igual a 0, poderia ser igual a [tex3]\int_{}\frac{1}{x}dx[/tex3]
, pois, realmente, [tex3]f(x)=\frac{1}{x}[/tex3]
é a função derivada de F(x) (pois repare que até quando x= 0, f(x) não é definida, já que F(x) não é derivável nesse ponto). E ela disse que não, pois F(x) não é derivável, e isso realmente é uma restrição na definição de integrais. Porém, se F(x) não pode ser uma primitiva de f(x) por esse motivo, então G(x) também não poderia ser uma primitiva da primeira integral vista anteriormente, a não ser que, ao escrever a resposta, restrinjamos o domínio da G(x) excluindo aqueles dois valores. Faz sentido? Me perdoe a extensão. Espero que eu tenha explicado direito a minha dúvida. É um detalhe que está me confundindo um pouco. Obrigada qualquer ajuda.
Ensino Superior ⇒ Integração por substituição e definição de integral indefinida
Nov 2023
03
21:20
Integração por substituição e definição de integral indefinida
Editado pela última vez por DudaS em 03 Nov 2023, 21:21, em um total de 1 vez.
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