Pré-Vestibular ⇒ Fundamentos da Matemática elementar volume 6, Números Complexos Tópico resolvido

[SBAN]

Fundamentos da Matemática Elementar Volume 6, 7 edição questão 40

Determine Z pertencente aos complexos tal que Z³ = ao conjugado de Z

[tex3]Z^3 = \bar Z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Z^3 = \bar Z[/tex3]

Por favor explicar com clareza e se possível usando LaTeX

Resposta

---

[tex3]Z=0~ou~Z=1~ou~Z=-1~ou~Z=i ~ou~Z=-i[/tex3]

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[tex3]Z=0~ou~Z=1~ou~Z=-1~ou~Z=i ~ou~Z=-i[/tex3]

[παθμ]

SBAN, seja [tex3]z= \rho e^ {i\theta}.[/tex3]

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[tex3]z= \rho e^ {i\theta}.[/tex3]

O conjugado é [tex3]\bar{z}=\rho e^{-i \theta},[/tex3]

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[tex3]\bar{z}=\rho e^{-i \theta},[/tex3]

e temos [tex3]z^3=\rho^3 e^{3i \theta}.[/tex3]

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[tex3]z^3=\rho^3 e^{3i \theta}.[/tex3]

Para a igualdade desses números complexos, devemos primeiramente ter [tex3]\rho=\rho^3 \Longrightarrow \rho=0[/tex3]

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[tex3]\rho=\rho^3 \Longrightarrow \rho=0[/tex3]

ou [tex3]\rho=1.[/tex3]

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[tex3]\rho=1.[/tex3]

Então já temos a primeira solução [tex3]\boxed{z_1=0}[/tex3]

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[tex3]\boxed{z_1=0}[/tex3]

No caso em que [tex3]\rho=1,[/tex3]

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[tex3]\rho=1,[/tex3]

também devemos ter [tex3]e^{-i \theta}=e^{3i\theta} \Longrightarrow 3\theta \equiv - \theta \pmod{2 \pi}.[/tex3]

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[tex3]e^{-i \theta}=e^{3i\theta} \Longrightarrow 3\theta \equiv - \theta \pmod{2 \pi}.[/tex3]

Devemos ter [tex3]3\theta = - \theta +2k \pi \Longrightarrow \theta=\frac{k\pi}{2},[/tex3]

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[tex3]3\theta = - \theta +2k \pi \Longrightarrow \theta=\frac{k\pi}{2},[/tex3]

para k=0, 1, 2, ...

Mas as possibilidades só vão de k=0 até k=3, pois, a partir de k=4, já começamos a repetir soluções ([tex3]\theta+2\pi[/tex3]

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[tex3]\theta+2\pi[/tex3]

gera o mesmo número que [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

)

Então os possíveis valores de [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

são [tex3]0, \; \pi/2, \; \pi, \; 3\pi/2[/tex3]

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[tex3]0, \; \pi/2, \; \pi, \; 3\pi/2[/tex3]

E as outras soluções são:

[tex3]z=e^0, \; e^{i\pi/2}, \; e^{i\pi}, \; e^{3i\pi/2}[/tex3]

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[tex3]z=e^0, \; e^{i\pi/2}, \; e^{i\pi}, \; e^{3i\pi/2}[/tex3]

[tex3]\boxed{z=1, \; i, \; -1, \; -i}[/tex3]

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[tex3]\boxed{z=1, \; i, \; -1, \; -i}[/tex3]

[SBAN]

Obrigado pela resolução. entretanto, no livro essa questão está na parte da forma algébrica dos complexos. A forma trigonométrica e a forma de potencia de um número complexo não foi apresentada ainda. então teoricamente essa solução não é válida porque o aluno não possui esse conhecimento ainda

Tentando resolver pela forma Algébrica dos complexos eu cheguei ate aqui

[tex3]Z^3=\bar Z[/tex3]

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[tex3]Z^3=\bar Z[/tex3]

[tex3](A+Bi)^3=(A-Bi)[/tex3]

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[tex3](A+Bi)^3=(A-Bi)[/tex3]

[tex3](A^3+3A^2Bi-3AB^2-B^3i)=A-Bi[/tex3]

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[tex3](A^3+3A^2Bi-3AB^2-B^3i)=A-Bi[/tex3]

[tex3]A^3-3AB^2=A[/tex3]

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[tex3]A^3-3AB^2=A[/tex3]

[tex3]3A^2B-B^3=-B[/tex3]

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[tex3]3A^2B-B^3=-B[/tex3]

Depois daqui não sei como terminar

[παθμ]

no livro essa questão está na parte da forma algébrica dos complexos

Ok.

[tex3]a(a^2-3b^2)=a[/tex3]

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[tex3]a(a^2-3b^2)=a[/tex3]

(Eq. 1)

[tex3]b(3a^2-b^2)=-b[/tex3]

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[tex3]b(3a^2-b^2)=-b[/tex3]

(Eq. 2)

De cara, uma solução é [tex3]a=0, \; b=0,[/tex3]

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[tex3]a=0, \; b=0,[/tex3]

logo [tex3]\boxed{z_1=0}[/tex3]

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[tex3]\boxed{z_1=0}[/tex3]

Agora suponha que apenas [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

é zero. Usando a equação 2:

[tex3]b^3=b \Longrightarrow b=1[/tex3]

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[tex3]b^3=b \Longrightarrow b=1[/tex3]

ou [tex3]b=-1.[/tex3]

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[tex3]b=-1.[/tex3]

Então, mais soluções: [tex3]\boxed{z_2=i},[/tex3]

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[tex3]\boxed{z_2=i},[/tex3]

[tex3]\boxed{z_3=-i}[/tex3]

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[tex3]\boxed{z_3=-i}[/tex3]

Agora suponha que apenas b é zero. Usando a equação 1:

[tex3]a^3=a \Longrightarrow a=1[/tex3]

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[tex3]a^3=a \Longrightarrow a=1[/tex3]

ou [tex3]a=-1.[/tex3]

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[tex3]a=-1.[/tex3]

Gerando as soluções [tex3]\boxed{z_4=1},[/tex3]

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[tex3]\boxed{z_4=1},[/tex3]

[tex3]\boxed{z_5=-1}[/tex3]

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[tex3]\boxed{z_5=-1}[/tex3]

Agora suponha que nenhum dos (a,b) é zero. As equações viram:

[tex3]a^2-3b^2=1[/tex3]

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[tex3]a^2-3b^2=1[/tex3]

(Eq. 3)

[tex3]3a^2-b^2=-1[/tex3]

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[tex3]3a^2-b^2=-1[/tex3]

(Eq. 4)

Somando-as: [tex3]4a^2-4b^2=0 \Longrightarrow a^2=b^2.[/tex3]

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[tex3]4a^2-4b^2=0 \Longrightarrow a^2=b^2.[/tex3]

Mas substituindo isso, por exemplo, na equação 3, obtemos [tex3]-2a^2=1 \Longrightarrow a^2<0.[/tex3]

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[tex3]-2a^2=1 \Longrightarrow a^2<0.[/tex3]

Absurdo, pois (a,b) são reais. Então não há mais soluções.

[SBAN]

Obrigado amigo, compreendi

[παθμ]

Obrigado amigo, compreendi

De nada! Só peço que marque a resolução como aceita.

[SBAN]

Veja ai se foi, não sei mexer muito bem no site ainda

[παθμ]

Veja ai se foi, não sei mexer muito bem no site ainda

Funcionou sim é só ver o símbolo de ✓ verde no tópico.