Física II

Duas partículas (m₁ e m₂) de mesma massa m deslocam-se com atrito desprezível sobre uma superfície horizontal, presas por molas de constante elástica k a paredes verticais e ligadas uma à outra por uma mola de constante elástica K >> k. Suponha que o sistema está em movimento e os blocos estão oscilando e os deslocamentos da posição de equilíbrio os deslocamentos x₁(t) da m₁ e x₂(t) da m₂.

(a) Determine a possíveis frequências de oscilação do sistema (modos normais). Considere os modos normais como sendo q₁(t) = x₁(t) + x₂(t) e q₂(t) = x₁(t) − x₂(t)

Mensagem não lidapor **παθμ** » 25 Out 2023, 14:38 · Mensagem não lida por **παθμ** » 25 Out 2023, 14:38

Sabenada,

Poderíamos usar o método usual para achar as frequências normais, calculando o determinante. Mas aqui, como [tex3]m_1=m_2=m,[/tex3] os dois modos normais são bem óbvios, além de que, como o sistema tem 2 graus de liberdade, já sabemos que são no máximo 2 modos normais.

O primeiro modo normal é quando as duas massas oscilam em fase. A mola [tex3]K[/tex3] permanece relaxada, e a distância entre as duas massas permanece sempre a mesma. Assim, a primeira frequência normal é simplesmente [tex3]\boxed{\omega_1=\sqrt{\frac{k}{m}}}.[/tex3]

O segundo modo normal é quando as massas oscilam em oposição de fase. Em um momento qualquer em que as duas massas distam [tex3]x[/tex3] de suas posições de equilíbrio, a força em uma delas devido à mola presa na parede é [tex3]kx[/tex3] e a força devido à mola central é [tex3]2Kx.[/tex3]
Assim, a força restauradora é [tex3](k+2K)x,[/tex3] e então a segunda frequência normal é [tex3]\boxed{\omega_2=\sqrt{\frac{k+2K}{m}}}[/tex3]

Obrigado por responder παθμ, lendo a sua resposta agr entendi como chega na segunda frequência. Eu estou começando a estudar essa matéria agora, então ainda estou bem ruim kkkkkk.

Mensagem não lidapor **παθμ** » 25 Out 2023, 14:52 · Mensagem não lida por **παθμ** » 25 Out 2023, 14:52

Sabenada escreveu: ↑25 Out 2023, 14:50 Obrigado por responder παθμ, lendo a sua resposta agr entendi como chega na segunda frequência. Eu estou começando a estudar essa matéria agora, então ainda estou bem ruim kkkkkk.

De nada! Perfeitamente normal cometer erros, ainda mais com matéria nova. Peço que, por favor, marque as soluções dos tópicos como aceitas

Marquei já παθμ... estava tentando descobrir como fazer isso na real.

naoseinada · Mensagem não lida por **naoseinada** » 25 Out 2023, 19:51

não entendi... preciso demonstrar os cálculos ou a resposta é só empírica?

Mensagem não lidapor **παθμ** » 25 Out 2023, 19:55 · Mensagem não lida por **παθμ** » 25 Out 2023, 19:55

naoseinada escreveu: ↑25 Out 2023, 19:51 não entendi... preciso demonstrar os cálculos ou a resposta é só empírica?

naoseinada, depois de ver os próximos itens eu percebi que era necessário elaborar os cálculos formalmente, usando as equações diferenciais. Eu fiz direitinho a partir desse tópico (o item b): viewtopic.php?f=10&t=107371

Obs: O que eu fiz no presente tópico não é "empírico". Tem rigor teórico sim. Só é um atalho, que existe graças à alta simetria do sistema.

naoseinada · Mensagem não lida por **naoseinada** » 25 Out 2023, 20:08

eu não critiquei... estou aprendendo e realmente não entendi como vc chegou na resposta.

Mensagem não lidapor **παθμ** » 25 Out 2023, 20:20 · Mensagem não lida por **παθμ** » 25 Out 2023, 20:20

naoseinada escreveu: ↑25 Out 2023, 20:08 eu não critiquei... estou aprendendo e realmente não entendi como vc chegou na resposta.

O primeiro modo normal é quando [tex3]x_1(t)=x_2(t)[/tex3] a todo momento. Ou seja, sempre que uma massa está a uma distância [tex3]x[/tex3] à direita do seu ponto de equilíbrio, a outra também está a essa mesma distância à direita do seu ponto de equilíbrio, com a mesma velocidade da outra no mesmo sentido. A mola do meio sempre fica relaxada, pois a distância entre as massas é sempre [tex3]d.[/tex3] Daí, a força restauradora em uma das massas, quando ela se desloca de [tex3]x[/tex3] de sua posição de equilíbrio, é [tex3]kx.[/tex3] Ou seja, a constante de força do MHS é [tex3]k[/tex3] e a frequência angular é [tex3]\omega_1=\sqrt{k/m}.[/tex3]

O segundo é quando [tex3]x_1(t)=-x_2(t)[/tex3] a todo momento. Ou seja, sempre que uma massa está a uma distância [tex3]x[/tex3] à direita do seu ponto de equilíbrio, a outra está à mesma distância à esquerda do seu ponto de equilíbrio, e com velocidade de mesmo módulo da outra massa mas em sentido contrário. Daí, veja que sempre que uma massa está deslocada de [tex3]x[/tex3] em relação ao seu ponto de equilíbrio, tem uma força restauradora [tex3]kx[/tex3] da mola da parede e uma força restauradora [tex3]2Kx[/tex3] da mola do meio (pois a mola do meio está deformada de [tex3]2x[/tex3] ). Por isso, a força restauradora é [tex3](k+2K)x,[/tex3] a constante de força do MHS é [tex3]k+2K[/tex3] e a frequência angular é [tex3]\omega_2=\sqrt{\frac{k+2K}{m}}.[/tex3]

Foi isso o que eu fiz neste tópico, com mais detalhes. A questão também tem itens b) e c), que estão em outros tópicos.

naoseinada · Mensagem não lida por **naoseinada** » 25 Out 2023, 20:36

agora entendi melhor! mto obg!

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