ITA 1959 ⇒ (ITA-1959) Parte I Tópico resolvido

[Jigsaw]

PARTE - I

Das 5 afirmativas seguintes, apenas 3 são verdadeiras. Assinale e demonstre as afirmativas verdadeiras.
1 - [tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[p]{x}-1}=\frac{p}{n}[/tex3]
2 – Na equação [tex3]x^3+ax^2+bx-\sqrt{2}=0[/tex3], existem valores para a e b tais que o produto das raízes da equação é um número inteiro.
3 – [tex3]log_a3+log_a\frac{3}{3a-1}+1=log_a(3+\frac{3}{3a-1})[/tex3], qualquer que seja a > 0, [tex3]a\neq 1[/tex3], [tex3]a\neq \frac{1}{3}[/tex3].
4 – Se existirem x e y tais que [tex3]x>y[/tex3] e [tex3]a^x<a^y[/tex3], [tex3](a>0)[/tex3], então, existem z e w tais que [tex3]z>w[/tex3] e [tex3]a^z>a^w[/tex3].
5 – [tex3](1+x)^n\geq 1+nx[/tex3] onde n é um número inteiro positivo e x qualquer número maior ou igual a -1.

Resposta

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1) Resposta: Verdadeira.
2) Resposta: Falsa.
3) Resposta: Falsa.
4) Resposta: Verdadeira.
5) Resposta: Verdadeira.
Fonte: Retirada do livro “Vestibulares de Matemática” por M. Silva Filho e G. Magarinos, pela Editora Nacionalista, em 1960.

OBS = Também mantive os cinco itens indicados na questão original, mesmo contrariando as regras do Fórum, no sentido de manter a originalidade da questão. Novamente não há necessidade de responder a todos os itens, mas qualquer item respondido será de enorme ajuda para os usuários do espaço. Por questão de didática, seria interessante (para quem souber) justificar as alternativas Falsas também.

[petras]

Jigsaw,

Item i) Verdadeira

f2.jpg (26.65 KiB) Exibido 386 vezes

(Solução:GiovanaMartins)



Item 2) Falsa

O produto das raízes independe de a e b pois por Girad
[tex3]x_1.x_2.x_3 =-\frac{d}{a} =\frac{\sqrt2}{1}=\sqrt2 [/tex3], ou seja depende apenas do termo independente e do coeficiente o termo de maior grau
(Solução:GiovanaMartins)



Item 3) Verdadeira

f02.jpg (25.32 KiB) Exibido 384 vezes

(Solução:GiovanaMartins)


Item 5) Verdadeira:Desigualdade de Bernoulli:
A desigualdade de Bernoulli afirma que: [tex3]( 1 + x )^n ≥ 1 +nx[/tex3], sempre que[tex3] x > − 1[/tex3] e n é um número inteiro não negativo.

Esta desigualdade pode ser generalizada considerando-se o caso em que n é um real maior ou igual a 1

Esta desigualdade pode ser provada por indução matemática, como se segue:

Base:

[tex3] (1+x)^0 = 1 \geq 1.[/tex3]

Indução:

Pela hipótese de indução, temos:

[tex3] (1+x)^n\geq 1 +nx[/tex3]

Multiplicado ambos os lados por (1 + x) (que é um termo positivo uma vez que x >- 1):

[tex3] (1+x)^{n+1} \ge (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2[/tex3]

O termo [tex3]nx^2 [/tex3]é positivo e portanto:

[tex3] (1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x[/tex3]


Defina a função auxiliar f(x) por:

[tex3] f(x):=(1+x)^r-(1+rx)\,[/tex3]

Queremos mostrar que [tex3]f(x)\geq 0[/tex3] quando [tex3]x > - 1[/tex3].

Tomando derivada em x, temos:

[tex3] f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r[/tex3]

ou seja:
f'(x)= [tex3]\begin{cases}
<0, -1 < x < 0 \\
=0, x=0 \\
> 0 , x >0
\end{cases}[/tex3]

Portanto, f(x) admite um mínimo global no ponto x = 0, onde é nula. Assim concluímos:

[tex3] f(x)\geq 0, x>-1\,[/tex3]

o que completa a demonstração.

(Solução:net)