ITA 1958 ⇒ Q09 - (ITA-1958) Geometria Espacial III Tópico resolvido

[Jigsaw]

9 – Dá-se a superfície e a diagonal de um paralelepípedo retângulo. Calcular as dimensões sabendo que estão em progressão geométrica.

Resposta

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9) Resposta: [tex3]\frac{2d^2+S-\sqrt{(2d^2+3S)(2d^2-S)}}{4\sqrt{d^2+S}}[/tex3]; [tex3]\frac{S}{2\sqrt{S+d^2}}[/tex3]; [tex3]\frac{2d^2+S+\sqrt{(2d^2+3S)(2d^2-S)}}{4\sqrt{d^2+S}}[/tex3]
Fonte: Retirada do livro “Vestibulares de Matemática” por M. Silva Filho e G. Magarinos, pela Editora Nacionalista, em 1960.

[παθμ]

Sejam [tex3]a=\frac{b}{r}[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c=rb[/tex3] as dimensões do paralelepípedo, e vamos definir [tex3]a< b< c[/tex3].

Temos:

[tex3]d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=b\sqrt{1+r^2+\frac{1}{r^2}} \Longrightarrow b=\frac{d}{\sqrt{1+r^2+\frac{1}{r^2}}}.[/tex3] (1)

Ademais:
[tex3]S=2(ab+ac+bc)=2b^2\left(1+r+\frac{1}{r}\right).[/tex3] (2)

Substituindo (1) em (2):

[tex3]\frac{r^3+r^2+r}{r^4+r^2+1}=\frac{S}{2d^2} \Longrightarrow \frac{r(r^2+r+1)}{(r^2+r+1)(r^2-r+1)}=\frac{S}{2d^2} \Longrightarrow Sr^2-(S+2d^2)r+S=0.[/tex3]

Resolvendo para [tex3]r[/tex3], obtemos:

[tex3]r_{1,2}=\frac{2d^2+S\pm \sqrt{(2d^2-S)(2d^2+3S)}}{2S}.[/tex3]

Perceba, ademais, que [tex3]r_1r_2=1[/tex3], usando uma relação de Girard. Portanto, [tex3]r_2=\frac{1}{r_1}[/tex3], e as duas soluções são equivalentes, sendo que uma corresponde à convenção [tex3]a < b < c[/tex3] e a outra à [tex3]a > b > c[/tex3]. A solução que faz com que [tex3]a < b < c[/tex3] deve ser a maior, logo [tex3]r=r_1=\frac{2d^2+S +\sqrt{(2d^2-S)(2d^2+3S)}}{2S}.[/tex3]

Temos [tex3]r+\frac{1}{r}=r_1+r_2=1+\frac{2d^2}{S},[/tex3] usando outra relação de Girard. Substituindo esse resultado na equação (2), obtemos:

[tex3]S=2b^2\left(1+\frac{2d^2}{S}+1\right) \Longrightarrow \boxed{b=\frac{S}{2\sqrt{S+d^2}}}[/tex3]

Usando [tex3]a=\frac{b}{r}=br_2[/tex3] e [tex3]c=br[/tex3]:

[tex3]\boxed{a=\frac{2d^2+S-\sqrt{(2d^2-S)(2d^2+3S)}}{4\sqrt{S+d^2}}}[/tex3]

[tex3]\boxed{c=\frac{2d^2+S+\sqrt{(2d^2-S)(2d^2+3S)}}{4\sqrt{S+d^2}}}[/tex3]