Física III ⇒ Campo elétrico Tópico resolvido

[PedroAntonio]

Considere uma carga Q distribuída de maneira uniforme no eixo Z, desde Z = -[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

L até +[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

L. Demonstre que, considerando altos valores de Z, a equação para o campo elétrico na linha de cargas do eixo Z se aproximará da equação p/ o campo elétrico de uma carga puntiforme Q na origem.

[παθμ]

PedroAntonio,

bd3ae6c8-6d85-4c64-a355-0927452026e5.png (201.67 KiB) Exibido 219 vezes

Vamos calcular o potencial no ponto P:

[tex3]dV=\frac{dq}{4\pi \epsilon_0 (z-z')}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L} \frac{dz'}{z-z'} \Longrightarrow V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L} \int_{-L/2}^{L/2} \frac{dz'}{z-z'}[/tex3]

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[tex3]dV=\frac{dq}{4\pi \epsilon_0 (z-z')}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L} \frac{dz'}{z-z'} \Longrightarrow V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L} \int_{-L/2}^{L/2} \frac{dz'}{z-z'}[/tex3]

[tex3]V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L} \ln\left(\frac{2z+L}{2z-L}\right)=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L}\left(\ln\left(1+\frac{L}{2z}\right)-\ln\left(1-\frac{L}{2z}\right)\right)[/tex3]

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[tex3]V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L} \ln\left(\frac{2z+L}{2z-L}\right)=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 L}\left(\ln\left(1+\frac{L}{2z}\right)-\ln\left(1-\frac{L}{2z}\right)\right)[/tex3]

.

Para [tex3]z[/tex3]

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[tex3]z[/tex3]

muito grande, temos [tex3]\frac{L}{z}<<1[/tex3]

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[tex3]\frac{L}{z}<<1[/tex3]

, e, por isso, podemos fazer a expansão em primeira ordem:
[tex3]\ln(1+x) \approx x[/tex3]

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[tex3]\ln(1+x) \approx x[/tex3]

Resultando em:

[tex3]V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 z}[/tex3]

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[tex3]V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 z}[/tex3]

.

Isso é precisamente o potencial devido a uma carga puntiforme [tex3]Q[/tex3]

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[tex3]Q[/tex3]

na origem. Se o potencial é o mesmo, o campo elétrico também será, visto que [tex3]E=-dV/dz[/tex3]

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[tex3]E=-dV/dz[/tex3]

.